Seja f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} uma função diferenciável. Calcule as derivadas parciais de 1a ordem das funções abaixo
u(x, y)=f\left(e^{x^{2}+y^{2}}\right).

Passo 1

O enunciado dá u:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} definida por
u(x,y)=f\bigl(e^{x^2+y^2}\bigr),
sendo f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} diferenciável.
O que vamos precisar é a regra da cadeia para funções compostas em várias variáveis.

Passo 2

Defina a função intermediária
t(x,y)=e^{x^2+y^2}.
Como a exponencial é diferenciável, calculamos suas derivadas parciais:
\frac{\partial t}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}e^{x^2+y^2} =e^{x^2+y^2}\cdot 2x,
\frac{\partial t}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}e^{x^2+y^2} =e^{x^2+y^2}\cdot 2y.

Passo 3

Agora aplicamos a regra da cadeia para u(x,y)=f\bigl(t(x,y)\bigr):
\frac{\partial u}{\partial x} =f'\bigl(t(x,y)\bigr)\,\frac{\partial t}{\partial x}, \quad \frac{\partial u}{\partial y} =f'\bigl(t(x,y)\bigr)\,\frac{\partial t}{\partial y}.
Substituindo as derivadas de t:
\frac{\partial u}{\partial x} =f'\bigl(e^{x^2+y^2}\bigr)\,\bigl(2x\,e^{x^2+y^2}\bigr),
\frac{\partial u}{\partial y} =f'\bigl(e^{x^2+y^2}\bigr)\,\bigl(2y\,e^{x^2+y^2}\bigr).

Resposta

\frac{\partial u}{\partial x} =2x\,e^{x^2+y^2}\,f'\bigl(e^{x^2+y^2}\bigr), \qquad \frac{\partial u}{\partial y} =2y\,e^{x^2+y^2}\,f'\bigl(e^{x^2+y^2}\bigr).

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