(2,0 pontos) Determine o valor de
, onde
é a região compreendida pelo retângulo determínado pelo intervalo
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
onde
é o retângulo determinado pelo intervalo
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A região
é o retângulo com variando de a e variando de a . - A função a ser integrada é
. - Precisamos determinar o valor numérico da integral dupla sobre
.
Passo 2
Escolha do método: como
é um retângulo, podemos usar a regra de Fubini e escrever a integral dupla como uma integral iterada (isto é, integrar em
e depois em
, ou vice‑versa). Vou integrar primeiro em
e depois em
. Lembrete prático: ao integrar em
, trata‑se
como constante; ao integrar em
, trata‑se
como constante.
Passo 3
Escrevemos a integral dupla como integral iterada:
Aqui a ordem escolhida é
interno e
externo.
Passo 4
Integramos o integrando em
, lembrando da linearidade da integral e de que
é constante nessa etapa. Separe em termos:
Agora use a regra da potência para integrar em
:
- Para
: fatoramos (constante) e obtemos - Para
: como é constante em ,
Passo 5
Avalie as primitivas no intervalo
:
Calcule a diferença:
Simplificando os termos:
Portanto a integral interna resulta em
Passo 6
Agora integramos essa expressão em
de
a
:
Explico as fórmulas usadas:
- A integral de
(ou ) é . - A integral de
é .
Passo 7
Calcule cada parte separadamente.
Para a primeira:
Para a segunda:
Passo 8
Some os resultados:
Esse é o valor da integral dupla sobre
. Boa! Você conseguiu — a conta não é longa e é só aplicação direta de integração iterada e das regras básicas.