(2,0 pontos) Determine o valor de \iint_{R}\left(2 x^{2} y^{-2}+2 y\right) d A, onde R é a região compreendida pelo retângulo determínado pelo intervalo [1,2] \times[1,2].

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{R}\left(2 x^{2} y^{-2}+2 y\right)\,dA,
onde R é o retângulo determinado pelo intervalo [1,2]\times[1,2].
Informações dadas:
  • A região R é o retângulo com x variando de \,1 a \,2 e y variando de \,1 a \,2.
  • A função a ser integrada é 2 x^{2} y^{-2}+2 y.
  • Precisamos determinar o valor numérico da integral dupla sobre R.

Passo 2

Escolha do método: como R é um retângulo, podemos usar a regra de Fubini e escrever a integral dupla como uma integral iterada (isto é, integrar em x e depois em y, ou vice‑versa). Vou integrar primeiro em x e depois em y. Lembrete prático: ao integrar em x, trata‑se y como constante; ao integrar em y, trata‑se x como constante.

Passo 3

Escrevemos a integral dupla como integral iterada:
\iint_{R}\left(2 x^{2} y^{-2}+2 y\right)\,dA = \int_{y=1}^{2}\left(\int_{x=1}^{2}\left(2 x^{2} y^{-2}+2 y\right)\,dx\right)dy.
Aqui a ordem escolhida é dx interno e dy externo.

Passo 4

Integramos o integrando em x, lembrando da linearidade da integral e de que y é constante nessa etapa. Separe em termos:
\int_{x=1}^{2}\left(2 x^{2} y^{-2}+2 y\right)\,dx = \int_{1}^{2}2 x^{2} y^{-2}\,dx + \int_{1}^{2}2 y\,dx.
Agora use a regra da potência para integrar em x:
  • Para \int 2 x^{2} y^{-2}\,dx: fatoramos y^{-2} (constante) e obtemos 2 y^{-2}\int x^{2}\,dx = 2 y^{-2}\cdot \frac{x^{3}}{3} = \frac{2}{3}y^{-2}x^{3}.
  • Para \int 2 y\,dx: como 2y é constante em x, \int 2 y\,dx = 2y\cdot x.

Passo 5

Avalie as primitivas no intervalo x\in[1,2]:
\int_{1}^{2}\left(2 x^{2} y^{-2}+2 y\right)\,dx = \left[\frac{2}{3}y^{-2}x^{3} + 2y x\right]_{x=1}^{x=2}.
Calcule a diferença:
\left(\frac{2}{3}y^{-2}\cdot 2^{3} + 2y\cdot 2\right) - \left(\frac{2}{3}y^{-2}\cdot 1^{3} + 2y\cdot 1\right).
Simplificando os termos:
\frac{2}{3}y^{-2}(8-1) + 2y(2-1) = \frac{2}{3}y^{-2}\cdot 7 + 2y.
Portanto a integral interna resulta em
\frac{14}{3}y^{-2} + 2y.

Passo 6

Agora integramos essa expressão em y de 1 a 2:
\int_{1}^{2}\left(\frac{14}{3}y^{-2} + 2y\right)\,dy = \frac{14}{3}\int_{1}^{2}y^{-2}\,dy + 2\int_{1}^{2}y\,dy.
Explico as fórmulas usadas:
  • A integral de y^{-2} (ou \frac{1}{y^{2}}) é \displaystyle\int y^{-2}\,dy = -y^{-1} + C.
  • A integral de y é \displaystyle\int y\,dy = \frac{y^{2}}{2} + C.

Passo 7

Calcule cada parte separadamente.
Para a primeira:
\frac{14}{3}\int_{1}^{2}y^{-2}\,dy = \frac{14}{3}\left[-\frac{1}{y}\right]_{1}^{2} = \frac{14}{3}\left(-\frac{1}{2} + 1\right) = \frac{14}{3}\cdot\frac{1}{2} = \frac{7}{3}.
Para a segunda:
2\int_{1}^{2}y\,dy = 2\left[\frac{y^{2}}{2}\right]_{1}^{2} = \left[y^{2}\right]_{1}^{2} = 2^{2}-1^{2} = 4-1 = 3.

Passo 8

Some os resultados:
\frac{7}{3} + 3 = \frac{7}{3} + \frac{9}{3} = \frac{16}{3}.
Esse é o valor da integral dupla sobre R. Boa! Você conseguiu — a conta não é longa e é só aplicação direta de integração iterada e das regras básicas.

Resposta

\dfrac{16}{3}

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