Um prisma reto tem por base um losango em que uma de suas diagonais é 3 / 4 da outra, e a soma de ambas é 14 cm . Calcule o volume desse prisma, sabendo que sua altura é igual ao semiperímetro da base.

Passo 1

O enunciado descreve um prisma reto cuja base é um losango. As diagonais do losango satisfazem a relação “uma é \frac{3}{4} da outra” e somam 14,cm. A altura do prisma é igual ao semiperímetro da base. Para achar o volume precisamos:
1. Determinar o comprimento das diagonais.
2. Calcular a área da base via diagonais.
3. Achar o lado do losango para obter o semiperímetro (altura).
4. Finalmente, multiplicar área da base pela altura.

Passo 2

Seja D a diagonal maior e d a menor. Tem-se
d = \tfrac{3}{4}D,
D + d = 14.
Substituindo d:
D + \tfrac{3}{4}D = \tfrac{7}{4}D = 14 \quad\Longrightarrow\quad D = 14\cdot\tfrac{4}{7} = 8\text{ cm},
d = \tfrac{3}{4}\cdot 8 = 6\text{ cm}.

Passo 3

A área do losango é dada por
\text{Área}_{\text{base}} = \frac{D\cdot d}{2} = \frac{8\cdot 6}{2} = 24\text{ cm}^2.Á

Passo 4

As diagonais são perpendiculares e se bissetam, logo cada lado do losango vale
s = \sqrt{\Bigl(\frac{D}{2}\Bigr)^2 + \Bigl(\frac{d}{2}\Bigr)^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5\text{ cm}.

Passo 5

O semiperímetro da base é metade do perímetro:
\text{semiperímetro} = 2s = 2\cdot 5 = 10\text{ cm}.í
Como a altura do prisma é igual a esse semiperímetro, temos h = 10,cm.

Passo 6

O volume do prisma é
V = \text{Área}_{\text{base}} \times h = 24\cdot 10 = 240\text{ cm}^3.Á

Resposta

240\text{ cm}^3

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