(2.0) Calcule o volume do conjunto Omega=(x, y, z): x^2+y^2 <= 1, 0 <= z <= 1-raizx^2-y^2.

Passo 1

O enunciado pede o volume do conjunto
Omega=(x,y,z)mid x^2+y^2<=1,;0<= z<=1-raizx^2+y^2.
O conteúdo aqui é cálculo de volume por integral tripla, e como a base no plano xy é um disco, vamos usar coordenadas cilíndricas.

Passo 2

Fazendo a mudança para coordenadas cilíndricas:
x = rcostheta, y = rsintheta, z=z,
com jacobiano r.
A região em r,theta fica
0<= r<=1, 0<=theta<=2pi,
e para cada (r,theta),
0<= z<=1-r

Passo 3

Escrevemos o volume como
V=integral triplaOmegadV =integraltheta=0^2piintegralr=0^1integralz=0^1-rr;dz,dr,dtheta
Integrando primeiro em z:
integral0^1-rr,dz =rl[zr]0^1-r =r(1-r)

Passo 4

Agora calculamos
V =integral0^2pi!!integral0^1r(1-r),dr,dtheta =l(integral0^2pidthetar)l(integral0^1(r-r^2),drr)
Como
integral0^2pidtheta=2pi, integral0^1r,dr=tfrac12, integral0^1r^2,dr=tfrac13,
temos
integral0^1(r-r^2),dr =tfrac12-tfrac13 =tfrac16,
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V=2picdottfrac16 =tfracpi3

Resposta

pi3

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