- Questão 36. Considere
com os seguintes dados:
i)
ii)
iii)
iv)
v)
-1
-2
1
2
0
-1
2
1
-1
0
vi)
Analisando as informações dadas determine, caso existam,
(a) os pontos críticos, os intervalos de crescimento e decrescimento de
.
(b) os pontos de inflexão e as concavidades de
.
(c) as assíntotas de
(d) Esboce o gráfico de $f(x).
i)
ii)
iii)
iv)
v)
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-1 | -2 |
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1 | 2 | 0 | -1 |
2 | 1 | -1 | 0 |
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(a) os pontos críticos, os intervalos de crescimento e decrescimento de
(b) os pontos de inflexão e as concavidades de
(c) as assíntotas de
(d) Esboce o gráfico de $f(x).
Passo 1
O enunciado dá uma função
e fornece
. limites em
e em
,
. alguns valores e derivadas em
,
. o sinal de
e
nos intervalos
,
,
,
,
.
Precisamos usar esses dados para achar
(a) pontos críticos e monotonicidade,
(b) pontos de inflexão e concavidade,
(c) assíntotas,
(d) esboçar o gráfico.
Precisamos usar esses dados para achar
(a) pontos críticos e monotonicidade,
(b) pontos de inflexão e concavidade,
(c) assíntotas,
(d) esboçar o gráfico.
Passo 2
Pontos críticos são onde
ou não existe em . Pelos dados temos
-
não existe em , logo é crítico; -
, logo é crítico;
emtemos .
Monotonicidade pelo sinal de:
decrescente,
crescente,
crescente,
decrescente,
decrescente.
Passo 3
Concavidade e pontos de inflexão pelo sinal de
:
concava para baixo,
concava para cima,
concava para baixo,
concava para baixo,
concava para cima.
Mudança de concavidade em (de baixo para cima) e em
(de baixo para cima), logo são pontos de inflexão, com
e
.
Mudança de concavidade em
Passo 4
Assíntotas:
Vertical em pois
e
.
Horizontais em
,
.
Vertical em
Horizontais em
Passo 5
Esboço do gráfico:
- Para
há um ramo que vem de (quando ), decresce e concava para baixo até , muda para concava para cima e cresce até ao chegar em . - Para
há um ramo que sai de em , cresce e concava para baixo até , depois decresce concava para baixo até , muda para concava para cima e decresce até se aproximar de quando .
Resposta
(a) Pontos críticos:
(derivada não existe) e
(
).
Intervalos de crescimento: .
Intervalos de decrescimento: .
Intervalos de crescimento:
Intervalos de decrescimento:
(b) Pontos de inflexão:
e
.
Concava para baixo em ,
,
.
Concava para cima em ,
.
Concava para baixo em
Concava para cima em
(c) Assíntotas:
Vertical: .
Horizontais: (quando
),
(quando
).
Vertical:
Horizontais:
(d) Esboço: conforme descrição do Passo
, dois ramos separados em
, com comportamento assintótico e pontos destacados.