• Questão 36. Considere com os seguintes dados:
    i)
    ii)
    iii)
    iv)
    v)
-1 -2
1 2 0 -1
2 1 -1 0
vi)
Analisando as informações dadas determine, caso existam,
(a) os pontos críticos, os intervalos de crescimento e decrescimento de .
(b) os pontos de inflexão e as concavidades de .
(c) as assíntotas de
(d) Esboce o gráfico de $f(x).

Passo 1

O enunciado dá uma função f:Rsetminus0toR e fornece
1. limites em 0^pm e em pminfty,
2. alguns valores e derivadas em x=-1,1,2,
3. o sinal de f' e f'' nos intervalos (-infty,-1), (-1,0), (0,1), (1,2), (2,infty).
Precisamos usar esses dados para achar
(a) pontos críticos e monotonicidade,
(b) pontos de inflexão e concavidade,
(c) assíntotas,
(d) esboçar o gráfico.

Passo 2

Pontos críticos são onde ou não existe em . Pelos dados temos
  • não existe em , logo é crítico;
  • , logo é crítico;
    em temos .
    Monotonicidade pelo sinal de :
    decrescente,
    crescente,
    crescente,
    decrescente,
    decrescente.

Passo 3

Concavidade e pontos de inflexão pelo sinal de f'':
(-infty,-1):f''<0 Rightarrow concava para baixo,
(-1,0):f''>0 Rightarrow concava para cima,
(0,1):f''<0 Rightarrow concava para baixo,
(1,2):f''<0 Rightarrow concava para baixo,
(2,infty):f''>0 Rightarrow concava para cima.
Mudança de concavidade em x=-1 (de baixo para cima) e em x=2 (de baixo para cima), logo são pontos de inflexão, com
l(-1,f(-1)r)=(-1,-2) e l(2,f(2)r)=(2,1).

Passo 4

Assíntotas:
Vertical em x=0 pois limxto0^-f(x)=+infty e limxto0^+f(x)=-infty.
Horizontais em
limxto-inftyf(x)=-1 Rightarrow y=-1,
limxto+inftyf(x)=0 Rightarrow y=0.

Passo 5

Esboço do gráfico:
  • Para x<0 há um ramo que vem de yto-1 (quando xto-infty), decresce e concava para baixo até (-1,-2), muda para concava para cima e cresce até +infty ao chegar em x=0^-.
  • Para x>0 há um ramo que sai de -infty em x=0^+, cresce e concava para baixo até (1,2), depois decresce concava para baixo até (2,1), muda para concava para cima e decresce até se aproximar de y=0 quando xto+infty.

Resposta

(a) Pontos críticos: x=-1 (derivada não existe) e x=1 ( f'(1)=0).
Intervalos de crescimento: (-1,0)cup(0,1).
Intervalos de decrescimento: (-infty,-1)cup(1,infty).
(b) Pontos de inflexão: l(-1,-2r) e l(2,1r).
Concava para baixo em (-infty,-1), (0,1), (1,2).
Concava para cima em (-1,0), (2,infty).
(c) Assíntotas:
Vertical: x=0.
Horizontais: y=-1 (quando xto-infty), y=0 (quando xto+infty).
(d) Esboço: conforme descrição do Passo 5, dois ramos separados em x=0, com comportamento assintótico e pontos destacados.

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