• Questão 35. Estude a função dada com relação a máximos e mínimos locais e globais
    h(u)=sen u+cos u, u in[0, pi]

Passo 1

O enunciado pede para estudar a função
h(u)=sin u+cos u, uin[0,pi]
com relação a máximos e mínimos locais e globais.
Para isso vamos usar cálculo de derivadas para achar pontos críticos, aplicar o teste da segunda derivada e comparar valores em pontos críticos e nos extremos do intervalo.

Passo 2

Calculamos a derivada primeira
h'(u)=cos u-sin u
e encontramos os pontos críticos resolvendo
cos u-sin u=0 Longrightarrow tan u=1 Longrightarrow u=pi4
onde u está em (0,pi).

Passo 3

Para classificar o ponto crítico usamos a segunda derivada
h''(u)=-sin u-cos u=-(sin u+cos u)
Em u=pi4 temos sinpi4+cospi4=raiz2, logo
h''l(tfracpi4r)=-raiz2<0,
o que indica que u=pi4 é um ponto de máximo local.

Passo 4

Agora avaliamos h no ponto crítico e nos extremos do intervalo:
hl(tfracpi4r) =sin!tfracpi4+cos!tfracpi4 =raiz22+raiz22 =raiz2,
h(0)=sin0+cos0=0+1=1,
h(pi)=sinpi+cospi=0-1=-1

Passo 5

Comparando os valores:
  • O maior valor é raiz2 em u=tfracpi4, portanto esse é o máximo global (e local).
  • O menor valor é -1 em u=pi, logo ali temos o mínimo global (e local).
  • Em u=0 temos h(0)=1, e como para u>0 próximo de zero h(u)>1, u=0 é mínimo local mas não global.

Resposta

Local e global máximo: u=tfracpi4, h(tfracpi4)=raiz2.
Local mínimo: u=0, h(0)=1.
Local e global mínimo: u=pi, h(pi)=-1.

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