(2.0) Inverta a ordem de integração e calcule I=integral0^raizpi / 2 integralx^raizpi / 2 sin (y^2) d y d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
I = integral0^raizpi/2 integralx^raizpi/2 sinl(y^2r),dy,dx
invertendo a ordem de integração. O que precisamos aqui é aplicar o Teorema de Fubini, reconhecendo que sin(y^2) é contínua no domínio considerado, e depois fazer uma substituição para integrar facilmente.

Passo 2

Primeiro, descrevemos a região de integração
D = l(x,y)mid 0 <= x <= raiztfracpi2,; x <= y <= raiztfracpi2r
Se invertermos a ordem, y varia de 0 até raizpi2 e, para cada y, x varia de 0 até y. Logo
I = integraly=0^raizpi/2 integralx=0^y sinl(y^2r),dx,dy

Passo 3

Integramos primeiro em x, tratando sin(y^2) como constante em relação a x:
integralx=0^y sinl(y^2r),dx = l[xr]0^y,sinl(y^2r) = y,sinl(y^2r)
Portanto
I = integral0^raizpi/2 y,sinl(y^2r),dy

Passo 4

Para calcular
integral0^raizpi/2 y,sinl(y^2r),dy
faremos a substituição
t = y^2, dt = 2y,dyLongrightarrow y,dy = dt2
Os limites em t vão de t(0)=0 até tl(raiztfracpi2r)=tfracpi2. Assim
I = integralt=0^pi/2 12,sin(t),dt = 12integral0^pi/2sin(t),dt = 12l[-cos(t)r]0^pi/2 = 12l(1 - 0r) = 12

Resposta

12

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