Calcule o volume do conjunto dado:
0 <= x <= 1,0 <= y <= 1,0 <= z <= 5-x^2-y^2

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido descrito por
0 <= x <= 1, 0 <= y <= 1, 0 <= z <= 5 - x^2 - y^2
Estamos numa situação de cálculo de volume via integral tripla em coordenadas cartesianas. A ideia é usar
V = integralx=0^1 integraly=0^1 integralz=0^5 - x^2 - y^2 dz,dy,dx

Passo 2

Começamos integrando em z. Para cada ponto (x,y) fixo, o intervalo em z vai de 0 até 5 - x^2 - y^2. Então
integralz=0^5 - x^2 - y^2 dz = l[zr]0^5 - x^2 - y^2 = 5 - x^2 - y^2
Isso reduz o volume a uma integral dupla em x e y:
V = integral0^1!integral0^1 l(5 - x^2 - y^2r),dy,dx

Passo 3

Agora integramos em y. Temos uma função polinomial em y, então
integraly=0^1 l(5 - x^2 - y^2r),dy = l[,5y - x^2y - tfracy^33r]0^1 = 5 - x^2 - tfrac13 = 143 - x^2
O volume passa a ser uma integral simples em x:
V = integral0^1 l(tfrac143 - x^2r),dx

Passo 4

Finalmente, integramos em x:
integral0^1 l(tfrac143 - x^2r),dx = l[tfrac143x - tfracx^33r]0^1 = 143 - 13 = 133

Resposta

O volume do sólido é 133.

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