Suponha que z=f(x, y) seja dada implicitamente pela equaçāo
e^z=x y z
Então partial fpartial x e partial fpartial y valem, respectivamente:
y ze^z-x y e x ze^z-x y

Passo 1

O enunciado define z = f(x,y) implicitamente pela equação
e^z = x,y,z
Queremos encontrar partial fpartial x e partial fpartial y. Para isso vamos usar diferenciação implícita, aplicando a regra da cadeia em e^z e a regra do produto em x,y,z.

Passo 2

Derivando em relação a x, tomamos
ddxl(e^zr) = ddxl(x,y,zr)
Pela regra da cadeia, a esquerda é
e^z,partial zpartial x,
e pela regra do produto (com y constante) a direita é
y,z + x,y,partial zpartial x
Logo
e^z,partial zpartial x = y,z + x,y,partial zpartial x

Passo 3

Isolando partial zpartial x, temos
l(e^z - x,yr)partial zpartial x = y,z Longrightarrow partial zpartial x = y,ze^z - x,y

Passo 4

De modo análogo, derivando em relação a y obtemos
e^z,partial zpartial y = x,z + x,y,partial zpartial y,
portanto
l(e^z - x,yr)partial zpartial y = x,z Longrightarrow partial zpartial y = x,ze^z - x,y

Resposta

partial fpartial x = y,ze^z - x,y, partial fpartial y = x,ze^z - x,y

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