Nos Exercícios de 21 a 28, calcule a integral definida.
integral1^3 x^2-4 x+3x(x+1)^2 d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral definida
integral1^3x^2-4x+3x(x+1)^2,dx
O conteúdo principal é integração por frações parciais, já que o integrando é uma função racional cujo denominador fatora em x(x+1)^2.

Passo 2

Fazemos a decomposição em frações parciais:
Multiplicando ambos os lados por
Expandindo e igualando coeficientes de , e termo constante:
Logo
Isso dá e .

Passo 3

Substituindo na integral, temos
integral1^3l(3x-2x+1-8(x+1)^2r),dx
Calculamos antiderivadas term a term:
integral3x,dx=3ln|x|, integrall(-2x+1r),dx=-2ln|x+1|, integrall(-8(x+1)^2r),dx =81x+1
Portanto uma primitiva é
F(x)=3ln x-2ln(x+1)+8x+1

Passo 4

Avaliaremos F(3)-F(1):
F(3)=3ln3-2ln4+84=3ln3-2ln4+2,
F(1)=3ln1-2ln2+82=0-2ln2+4=-2ln2+4
Logo
F(3)-F(1) =3ln3-2ln4+2+2ln2-4 =3ln3-2ln2-2 =ln!l(274r)-2

Resposta

integral1^3x^2-4x+3x(x+1)^2,dx =ln!l(274r)-2

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