Calcule o volume do conjunto
dado.
e
.
Passo 1
Resumo do enunciado e conteúdo
Queremos o volume do conjunto
Queremos o volume do conjunto
Aqui usamos integração dupla (ou tripla) para volume, aplicando a ideia de “altura” sobre cada ponto
do disco
.
Passo 2
Determinar a região de projeção no plano
A condição equivale a
. Mas para
em
temos
, logo
é sempre satisfeita.
Portanto a projeção no plano é exatamente o disco
A condição
Portanto a projeção no plano
Passo 3
Escrever o volume como integral sobre
Para cada , a coordenada
varia de
até
.
O volume vale
Para cada
O volume vale
Passo 4
Calcular as integrais de
,
e
sobre o disco
Usamos simetria do disco:
Usamos simetria do disco:
pois
é simétrico em relação aos eixos.
Passo 5
Juntar resultados
Resposta
O volume do conjunto
é
.