Calcule o volume do conjunto A dado.
A=(x, y, z) in R^3: x^2+y^2 <= 1 e x+y+2 <= z <= 4.

Passo 1

Resumo do enunciado e conteúdo
Queremos o volume do conjunto
A=(x,y,z)inR^3 : x^2+y^2<=1,;x+y+2<= z<=4
Aqui usamos integração dupla (ou tripla) para volume, aplicando a ideia de “altura” sobre cada ponto (x,y) do disco x^2+y^2<=1.

Passo 2

Determinar a região de projeção no plano xy
A condição x+y+2<=4 equivale a x+y<=2. Mas para (x,y) em x^2+y^2<=1 temos |x+y|<=raiz2<2, logo x+y<=2 é sempre satisfeita.
Portanto a projeção no plano xy é exatamente o disco
D=(x,y):x^2+y^2<=1

Passo 3

Escrever o volume como integral sobre D
Para cada (x,y)in D, a coordenada z varia de zmin=x+y+2 até zmax=4.
O volume vale
V=integral duplaDl(4-(x+y+2)r),dA =integral duplaD(2 - x - y),dA

Passo 4

Calcular as integrais de 2, x e y sobre o disco
Usamos simetria do disco:
integral duplaD2,dA =2cdotÁrea(D) =2cdotpicdot1^2 =2pi, Á
integral duplaDx,dA=0, integral duplaDy,dA=0,
pois D é simétrico em relação aos eixos.

Passo 5

Juntar resultados
V =integral duplaD2,dA -integral duplaDx,dA -integral duplaDy,dA =2pi-0-0 =2pi

Resposta

O volume do conjunto A é 2pi.

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