Nos problemas 11-20, determine as expansões em frações parciais para a função racional dada.
3 s^2+5 s+3s^4+s^3

Passo 1

O enunciado nos dá a função racional
3s^2+5s+3s^4+s^3
e pede a expansão em frações parciais. O conteúdo envolve decompor um denominador com raízes repetidas (em s=0) e raiz simples (em s=-1).

Passo 2

Fatoramos o denominador para identificar as raízes e suas multiplicidades:
s^4+s^3=s^3(s+1)

Passo 3

Como s=0 é raiz de multiplicidade 3 e s=-1 é simples, propomos
3s^2+5s+3s^3(s+1) =As+Bs^2+Cs^3+Ds+1

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados por s^3(s+1) e obtemos
3s^2+5s+3 = A,s^2(s+1)+B,s(s+1)+C,(s+1)+D,s^3

Passo 5

Expandindo e agrupando termos semelhantes:
A s^2(s +1) =A s^3 +A s^2,
B s(s +1) =B s^2 +B s,
C(s +1) =C s+C,
D s^3 =D s^3.
Logo os coeficientes são
s^3:;A+D, s^2:;A+B, s^1:;B+C, s^0:;C e devem igualar 0, 3, 5, 3

Passo 6

Igualando coeficientes, temos o sistema
A+D=0, A+B=3, B+C=5, C=3
Daí C=3, B=5-3=2, A=3-2=1 e D=-A=-1.

Passo 7

Substituindo os valores encontrados, a expansão em frações parciais é
3s^2+5s+3s^4+s^3 =1s+2s^2+3s^3-1s+1

Resposta

3s^2+5s+3s^4+s^3 =1s+2s^2+3s^3-1s+1

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