Nos problemas 11-20, determine as expansões em frações parciais para a função racional dada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para fazer a expansão em frações parciais da função racional
. A matéria que estamos lidando aqui é sobre frações parciais, que é uma técnica usada para simplificar funções racionais (aqueles que são divisão de polinômios) em somas de frações mais simples. Para isso, vamos precisar identificar os fatores do denominador e depois ajustar os numeradores das frações parciais de acordo.
Passo 2
Primeiro, vamos observar o denominador da nossa função:
. Aqui, temos um fator linear
e um fator quadrático
. Como o fator quadrático não pode ser fatorado mais (o discriminante
é negativo), ele é considerado irreduzível nos números reais. Isso nos diz que a forma das frações parciais vai ser:
Onde
,
e
são constantes que precisamos encontrar.
Passo 3
Agora, vamos montar a equação de frações parciais igualando-a à expressão original:
Para eliminar os denominadores, multiplicamos ambos os lados da equação por
:
Passo 4
Vamos expandir os termos do lado direito:
Então, somando esses resultados:
Passo 5
Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
Isso deve ser igual ao lado esquerdo da nossa equação original:
Passo 6
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados:
Para
:
Para
:
Para o termo constante:
Passo 7
Temos agora um sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema passo a passo. Da primeira equação, podemos expressar
em termos de
:
Passo 8
Substituindo
na segunda equação:
Passo 9
Agora, temos:
-
\quad (Equação 3) -
\quad (Equação 4)
Vamos subtrair a Equação 4 da Equação 3:
Passo 10
Com
, substituímos na Equação 1 para encontrar
:
Passo 11
Agora, substituímos
na Equação 3 para encontrar
:
Resposta
Portanto, a expansão em frações parciais da função dada é:
Ou simplificando: