Nos problemas 11-20, determine as expansões em frações parciais para a função racional dada.
8 s-2 s^2-14(s+1)(s^2-2 s+5)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para fazer a expansão em frações parciais da função racional 8 s - 2 s^2 - 14(s+1)(s^2-2 s+5). A matéria que estamos lidando aqui é sobre frações parciais, que é uma técnica usada para simplificar funções racionais (aqueles que são divisão de polinômios) em somas de frações mais simples. Para isso, vamos precisar identificar os fatores do denominador e depois ajustar os numeradores das frações parciais de acordo.

Passo 2

Primeiro, vamos observar o denominador da nossa função: (s + 1)(s^2 - 2s + 5). Aqui, temos um fator linear (s + 1) e um fator quadrático (s^2 - 2s + 5). Como o fator quadrático não pode ser fatorado mais (o discriminante b^2 - 4ac = 4 - 20 = -16 é negativo), ele é considerado irreduzível nos números reais. Isso nos diz que a forma das frações parciais vai ser:
As + 1 + Bs + Cs^2 - 2s + 5
Onde A, B e C são constantes que precisamos encontrar.

Passo 3

Agora, vamos montar a equação de frações parciais igualando-a à expressão original:
8 s - 2 s^2 - 14(s + 1)(s^2 - 2s + 5) = As + 1 + Bs + Cs^2 - 2s + 5
Para eliminar os denominadores, multiplicamos ambos os lados da equação por (s + 1)(s^2 - 2s + 5):
8 s - 2 s^2 - 14 = A(s^2 - 2s + 5) + (Bs + C)(s + 1)

Passo 4

Vamos expandir os termos do lado direito:
A(s^2 - 2s + 5) = A s^2 - 2A s + 5A
(Bs + C)(s + 1) = Bs cdot s + Bs cdot 1 + C cdot s + C cdot 1 = B s^2 + (B + C)s + C
Então, somando esses resultados:
A s^2 - 2A s + 5A + B s^2 + (B + C)s + C

Passo 5

Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
(A + B)s^2 + (-2A + B + C)s + (5A + C)
Isso deve ser igual ao lado esquerdo da nossa equação original:
-2s^2 + 8s - 14

Passo 6

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados:
Para s^2:
A + B = -2
Para s:
-2A + B + C = 8
Para o termo constante:
5A + C = -14

Passo 7

Temos agora um sistema de equações:
  1. A + B = -2
  2. -2A + B + C = 8
  3. 5A + C = -14
Vamos resolver esse sistema passo a passo. Da primeira equação, podemos expressar B em termos de A:
B = -2 - A

Passo 8

Substituindo B = -2 - A na segunda equação:
-2A + (-2 - A) + C = 8
-3A - 2 + C = 8
-3A + C = 10 (Equação 4) çã

Passo 9

Agora, temos:
  1. 5A + C = -14 \quad (Equação 3)
  2. -3A + C = 10 \quad (Equação 4)
Vamos subtrair a Equação 4 da Equação 3:
(5A + C) - (-3A + C) = -14 - 10
5A + C + 3A - C = -24
8A = -24
A = -3

Passo 10

Com A = -3, substituímos na Equação 1 para encontrar B:
B = -2 - (-3) = -2 + 3 = 1

Passo 11

Agora, substituímos A = -3 na Equação 3 para encontrar C:
5(-3) + C = -14
-15 + C = -14
C = -14 + 15 = 1

Resposta

Portanto, a expansão em frações parciais da função dada é:
-3s + 1 + 1 cdot s + 1s^2 - 2s + 5
Ou simplificando:
-3s + 1 + s + 1s^2 - 2s + 5

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