Nos problemas 11-20, determine as expansões em frações parciais para a função racional dada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a expansão em frações parciais da função racional dada:
Isso está relacionado ao conteúdo de Frações Parciais, que nos ajuda a decompor funções racionais (isso é, quocientes de polinômios) em somas mais simples, facilitando a integração ou outras operações. Para resolver, vamos precisar fatorar o denominador e então encontrar os coeficientes das frações parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador
. Para isso, buscamos dois números que multiplicados dão -6 e somados dão +1 (o coeficiente de
).
Esses números são +3 e -2, porque
e
.
Então, podemos fatorar
como
.
Passo 3
Agora, substituímos o denominador fatorado na fração original:
Vamos supor que essa fração pode ser decomposta em frações parciais da seguinte forma:
Aqui,
,
e
são constantes que precisamos descobrir.
Passo 4
Para encontrar os valores de
,
e
, primeiro multiplicamos ambos os lados da equação por
para eliminar os denominadores:
Passo 5
Agora, expandimos e simplificamos os termos à direita:
Agrupando os termos semelhantes:
Passo 6
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
- Para
:
- Para
:
- Para o termo constante:
Passo 7
Primeiro, resolvemos a equação para o termo constante:
Passo 8
Com o valor de
, substituímos na primeira equação:
E na segunda equação:
Multiplicando tudo por 6 para eliminar os denominadores:
Passo 9
Agora, temos um sistema de duas equações:
Vamos resolver o sistema. Da primeira equação, podemos expressar
. Substituindo na segunda equação:
Simplificando:
Passo 10
Agora, substituímos
na equação
:
Resposta
A expansão em frações parciais da função dada é: