Nos problemas 11-20, determine as expansões em frações parciais para a função racional dada.
3 s+5s(s^2+s-6)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a expansão em frações parciais da função racional dada:
3s + 5s(s^2 + s - 6)
Isso está relacionado ao conteúdo de Frações Parciais, que nos ajuda a decompor funções racionais (isso é, quocientes de polinômios) em somas mais simples, facilitando a integração ou outras operações. Para resolver, vamos precisar fatorar o denominador e então encontrar os coeficientes das frações parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador s^2 + s - 6 . Para isso, buscamos dois números que multiplicados dão -6 e somados dão +1 (o coeficiente de s ).
Esses números são +3 e -2, porque 3 times (-2) = -6 e 3 + (-2) = 1 .
Então, podemos fatorar s^2 + s - 6 como (s + 3)(s - 2) .

Passo 3

Agora, substituímos o denominador fatorado na fração original:
3s + 5s(s + 3)(s - 2)
Vamos supor que essa fração pode ser decomposta em frações parciais da seguinte forma:
3s + 5s(s + 3)(s - 2) = As + Bs + 3 + Cs - 2
Aqui, A , B e C são constantes que precisamos descobrir.

Passo 4

Para encontrar os valores de A , B e C , primeiro multiplicamos ambos os lados da equação por s(s + 3)(s - 2) para eliminar os denominadores:
3s + 5 = A(s + 3)(s - 2) + B cdot s(s - 2) + C cdot s(s + 3)

Passo 5

Agora, expandimos e simplificamos os termos à direita:
3s + 5 = A(s^2 + s - 6) + B(s^2 - 2s) + C(s^2 + 3s)
Agrupando os termos semelhantes:
3s + 5 = (A + B + C)s^2 + (A - 2B + 3C)s - 6A

Passo 6

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
  1. Para s^2 :
A + B + C = 0
  1. Para s :
A - 2B + 3C = 3
  1. Para o termo constante:
-6A = 5

Passo 7

Primeiro, resolvemos a equação para o termo constante:
-6A = 5 Rightarrow A = -56

Passo 8

Com o valor de A , substituímos na primeira equação:
-56 + B + C = 0 Rightarrow B + C = 56
E na segunda equação:
-56 - 2B + 3C = 3
Multiplicando tudo por 6 para eliminar os denominadores:
-5 - 12B + 18C = 18 Rightarrow -12B + 18C = 23

Passo 9

Agora, temos um sistema de duas equações:
  1. B + C = 56
  2. -12B + 18C = 23
Vamos resolver o sistema. Da primeira equação, podemos expressar B = 56 - C . Substituindo na segunda equação:
-12(56 - C) + 18C = 23
Simplificando:
-10 + 12C + 18C = 23 Rightarrow 30C = 33 Rightarrow C = 3330 = 1110

Passo 10

Agora, substituímos C = 1110 na equação B + C = 56 :
B + 1110 = 56 Rightarrow B = 56 - 1110 = 2530 - 3330 = -830 = -415

Resposta

A expansão em frações parciais da função dada é:
3s + 5s(s + 3)(s - 2) = -56s - 415(s + 3) + 1110(s - 2)

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