Calcule o volume do conjunto A dado.
A=(x, y, z) in R^3: x >= 0, y >= 0, x+y <= 1 e 0 <= z <= x^2+y^2.

Passo 1

O enunciado pede o volume do conjunto
A=(x,y,z)inR^3:x>=0,;y>=0,;x+y<=1,;0<= z<= x^2+y^2
Este é um problema de cálculo de volume via integração dupla: projetamos A no plano xy e integramos a “altura” z=x^2+y^2 sobre essa região.

Passo 2

Identificamos a projeção no plano xy:
D=(x,y):x>=0,;y>=0,;x+y<=1,
que é o triângulo de vértices (0,0), (1,0), (0,1). O volume vale
V=integral duplaD(x^2+y^2),dA

Passo 3

Escolhemos integrar primeiro em y. Para cada xin[0,1], y varia de 0 até 1-x. Assim
V=integralx=0^1l[integraly=0^1-x(x^2+y^2),dyr],dx

Passo 4

Calculamos a integral interna em y:
integral0^1-x(x^2+y^2),dy = x^2(1-x)+integral0^1-xy^2,dy = x^2(1-x)+(1-x)^33

Passo 5

Agora integramos em x:
V =integral0^1l[x^2(1-x)+(1-x)^33r],dx =integral0^1(x^2-x^3),dx+13integral0^1(1-x)^3,dx
Calculando separadamente:
integral0^1(x^2-x^3),dx =l[tfracx^33-tfracx^44r]0^1 =13-14=112,
integral0^1(1-x)^3,dx =l[-(1-x)^44r]0^1 =14,
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V=112+13cdot14 =112+112 =16

Resposta

16

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