Nos problemas 11-20, determine as expansões em frações parciais para a função racional dada.
1(s-3)(s^2+2 s+2)

Passo 1

O enunciado nos dá a função racional
1(s-3)l(s^2+2s+2r)
e pede a expansão em frações parciais. Como o grau do denominador é maior que o do numerador e o fator s^2+2s+2 é irreduzível, vamos assumir a forma
1(s-3)(s^2+2s+2) =As-3+Bs+Cs^2+2s+2

Passo 2

Multiplicamos ambos os lados por (s-3)(s^2+2s+2) para obter a identidade polinomial
1 = Al(s^2+2s+2r)+(Bs+C)(s-3)

Passo 3

Expandindo e agrupando termos segundo potências de s:
1 = A s^2 + 2A s + 2A + B s^2 - 3B s + C s - 3C = (A+B),s^2 + (2A - 3B + C),s + (2A - 3C)

Passo 4

Igualamos coeficientes de s^2, s e termo constante ao lado esquerdo (que é 1 = 0cdot s^2 + 0cdot s + 1):
A + B = 0, 2A - 3B + C = 0, 2A - 3C = 1

Passo 5

Resolvendo o sistema:
Da primeira equação B = -A.
Substituindo na segunda:
2A -3(-A) + C = 5A + C = 0 Longrightarrow C = -5A
Substituindo na terceira:
2A - 3(-5A) = 2A + 15A = 17A = 1 Longrightarrow A = 117,
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B = -117, C = -517

Passo 6

Substituindo A, B e C na forma assumida, obtemos
1(s-3)(s^2+2s+2) = 1/17s-3 + l(-tfrac117s - tfrac517r)s^2+2s+2 = 117,1s-3 - 117,s+5s^2+2s+2

Resposta

1(s-3)(s^2+2s+2) = 117,1s-3 - 117,s+5s^2+2s+2

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