Calcule o volume do conjunto A dado.
A=(x, y, z) in R^3: 0 <= y <= 1-x^2 e 0 <= z <= 1-x^2.

Passo 1

O enunciado nos pede para calcular o volume do conjunto AsubsetR^3 definido por
A = (x,y,z): 0 <= y <= 1 - x^2,;0 <= z <= 1 - x^2
O conteúdo aqui é cálculo de volume via integração múltipla usando o Teorema de Fubini.

Passo 2

Para que as desigualdades 0<= y<= 1-x^2 e 0<= z<= 1-x^2 façam sentido precisamos ter
1 - x^2 >= 0,
isto é,
x in [-1,1]

Passo 3

Para cada x fixo em [-1,1], a seção transversal em (y,z) é um retângulo de lados 1-x^2. Sua “área” é dada por
integral0^1-x^2integral0^1-x^2dz,dy = (1-x^2)^2

Passo 4

Portanto o volume de A é
integral-1^1(1-x^2)^2,dx
Expandindo o integrando:
(1-x^2)^2 = 1 - 2x^2 + x^4,
vem
integral-1^1(1-x^2)^2dx = integral-1^11,dx ;-;2integral-1^1x^2,dx;+;integral-1^1x^4,dx = 2 - 2cdot23 + 25 = 1615

Resposta

O volume de A é 1615.

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