Nos problemas 11-20, determine as expansões em frações parciais para a função racional dada.
s(s-1)(s^2-1)

Passo 1

O enunciado pede a decomposição em frações parciais da função racional
s(s-1)l(s^2-1r)
Para isso precisamos lembrar que, quando o denominador tem fatores lineares repetidos, devemos incluir termos até a maior potência de cada fator. Aqui o conteúdo é frações parciais de funções racionais com fatores lineares repetidos.

Passo 2

Primeiro fatoramos completamente o denominador:
s^2 - 1 = (s-1)(s+1),
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(s-1)l(s^2 - 1r) = (s-1)(s-1)(s+1) = (s-1)^2(s+1)
Portanto, a forma geral da decomposição é
s(s-1)^2(s+1) = As-1 + B(s-1)^2 + Cs+1

Passo 3

Multiplicamos a identidade acima por (s-1)^2(s+1) para obtermos uma equação polinomial em s:
s = A,(s-1)(s+1) + B,(s+1) + C,(s-1)^2

Passo 4

Para achar A, B e C podemos usar valores convenientes de s:
  1. Em s=1: 1 = Acdot0 + B,(1+1) + Ccdot0 Longrightarrow 1 = 2B Longrightarrow B = tfrac12
  2. Em s=-1: -1 = Acdot0 + Bcdot0 + C,(-1-1)^2 Longrightarrow -1 = 4C Longrightarrow C = -tfrac14
  3. Para A, escolhemos s=0 (outro valor simples): 0 = A,(0-1)(0+1) + B,(0+1) + C,(0-1)^2 = -A + B + C Longrightarrow A = B + C = tfrac12 + l(-tfrac14r) = tfrac14

Passo 5

Substituindo A, B e C na forma geral, concluímos:
s(s-1)^2(s+1) = tfrac14s-1 + tfrac12(s-1)^2 + -tfrac14s+1

Resposta

s(s-1),(s^2-1) = 14,1s-1 + 12,1(s-1)^2 - 14,1s+1

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