Nos problemas 21-30, determine mathscrL^-1F.
F(s)=6 s^2-13 s+2s(s-1)(s-6)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a transformada inversa de Laplace de F(s) = 6s^2 - 13s + 2s(s-1)(s-6) . Vamos utilizar conceitos de transformada de Laplace, principalmente a decomposição em frações parciais, que nos ajuda a simplificar funções racionais para facilitar a aplicação da transformada inversa.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor a função F(s) em frações parciais. Frações parciais são uma forma de quebrar uma fração complicada em várias frações mais simples que são mais fáceis de inverter usando a transformada de Laplace.

Passo 3

Para decompor F(s) , queremos expressá-la como a soma de termos mais simples:
6s^2 - 13s + 2s(s-1)(s-6) = As + Bs-1 + Cs-6
onde A , B e C são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Vamos multiplicar ambos os lados da equação por s(s-1)(s-6) para eliminar os denominadores:
6s^2 - 13s + 2 = A(s-1)(s-6) + B(s)(s-6) + C(s)(s-1)
Agora, escolhemos valores específicos de s para encontrar as constantes:
  • Para s = 0 :
6(0)^2 - 13(0) + 2 = A(-1)(-6) Rightarrow 2 = 6A Rightarrow A = 13
  • Para s = 1 :
6(1)^2 - 13(1) + 2 = B(1)(-5) Rightarrow (6 - 13 + 2) = -5B Rightarrow -5 = -5B Rightarrow B = 1
  • Para s = 6 :
6(6)^2 - 13(6) + 2 = C(6)(5) Rightarrow (216 - 78 + 2) = 30C Rightarrow 140 = 30C Rightarrow C = 143

Passo 5

Agora que temos A = 13 , B = 1 e C = 143 , podemos reescrever F(s) como:
F(s) = 13 cdot 1s + 1 cdot 1s-1 + 143 cdot 1s-6

Passo 6

Aplicando a transformada inversa de Laplace a cada termo separadamente:
  • mathscrL^-11s = 1
  • mathscrL^-11s-a = e^at
Portanto,
mathscrL^-1F(s) = 13 cdot 1 + 1 cdot e^1t + 143 cdot e^6t

Resposta

A transformada inversa de Laplace de F(s) é:
mathscrL^-1F(s) = 13 + e^t + 143 , e^6t

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