Nos problemas 21-30, determine
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente precisa achar a transformada inversa de Laplace de uma função
, que é dada por:
Isso faz parte da matéria de Transformadas de Laplace, e para resolver, a gente vai usar a fração parcial. Basicamente, vamos quebrar essa fração complicada em partes mais simples que a gente já sabe transformar de volta para o tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever
como uma soma de frações parciais. A ideia é expressar
na forma:
Aqui,
,
e
são constantes que a gente precisa encontrar.
Passo 3
Agora, vamos encontrar os valores de
,
e
. Para isso, multiplicamos ambos os lados da equação por
para eliminar os denominadores:
Expandindo os termos do lado direito:
Agrupando os termos semelhantes:
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
- Para
:
- Para
:
- Para o termo constante:
Agora, vamos resolver esse sistema de equações. Primeiro, da primeira equação, podemos expressar
.
Substituindo
na segunda equação:
Agora, substituindo
e
na terceira equação:
Agora que temos
, podemos encontrar
e
:
Então, os valores são
,
e
.
Passo 4
Com os valores de
,
e
, a fração parcial fica:
Agora, vamos aplicar a transformada inversa de Laplace em cada termo separadamente. Sabemos que:
Aplicando isso aos nossos termos:
Resposta
Portanto, a transformada inversa de Laplace de
é: