Nos problemas 21-30, determine mathscrL^-1F.
F(s)=5 s^2+34 s+53(s+3)^2(s+1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente precisa achar a transformada inversa de Laplace de uma função F(s) , que é dada por:
F(s) = 5 s^2 + 34 s + 53(s+3)^2(s+1)
Isso faz parte da matéria de Transformadas de Laplace, e para resolver, a gente vai usar a fração parcial. Basicamente, vamos quebrar essa fração complicada em partes mais simples que a gente já sabe transformar de volta para o tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever F(s) como uma soma de frações parciais. A ideia é expressar F(s) na forma:
5 s^2 + 34 s + 53(s+3)^2(s+1) = As+1 + Bs+3 + C(s+3)^2
Aqui, A , B e C são constantes que a gente precisa encontrar.

Passo 3

Agora, vamos encontrar os valores de A , B e C . Para isso, multiplicamos ambos os lados da equação por (s+3)^2(s+1) para eliminar os denominadores:
5 s^2 + 34 s + 53 = A (s+3)^2 + B (s+1)(s+3) + C (s+1)
Expandindo os termos do lado direito:
5 s^2 + 34 s + 53 = A (s^2 + 6s + 9) + B (s^2 + 4s + 3) + C (s + 1)
Agrupando os termos semelhantes:
5 s^2 + 34 s + 53 = (A + B) s^2 + (6A + 4B + C) s + (9A + 3B + C)
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
  1. Para s^2 :
A + B = 5
  1. Para s :
6A + 4B + C = 34
  1. Para o termo constante:
9A + 3B + C = 53
Agora, vamos resolver esse sistema de equações. Primeiro, da primeira equação, podemos expressar B = 5 - A .
Substituindo B na segunda equação:
6A + 4(5 - A) + C = 34 6A + 20 - 4A + C = 34 2A + C = 14 Rightarrow C = 14 - 2A
Agora, substituindo B = 5 - A e C = 14 - 2A na terceira equação:
9A + 3(5 - A) + (14 - 2A) = 53 9A + 15 - 3A + 14 - 2A = 53 4A + 29 = 53 4A = 24 A = 6
Agora que temos A = 6 , podemos encontrar B e C :
B = 5 - A = 5 - 6 = -1 C = 14 - 2A = 14 - 12 = 2
Então, os valores são A = 6 , B = -1 e C = 2 .

Passo 4

Com os valores de A , B e C , a fração parcial fica:
F(s) = 6s+1 + -1s+3 + 2(s+3)^2
Agora, vamos aplicar a transformada inversa de Laplace em cada termo separadamente. Sabemos que:
  1. mathscrL^-11s+a = e^-a t
  2. mathscrL^-11(s+a)^2 = t e^-a t
Aplicando isso aos nossos termos:
mathscrL^-16s+1 = 6 e^-t
mathscrL^-1-1s+3 = - e^-3 t
mathscrL^-12(s+3)^2 = 2 t e^-3 t

Resposta

Portanto, a transformada inversa de Laplace de F(s) é:
mathscrL^-1F(s) = 6 e^-t - e^-3 t + 2 t e^-3 t

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