Calcule o volume do conjunto A dado.
A=(x, y, z) in R^3: 4 x+2 y <= z <= 3 x+y+1, x >= 0 e y >= 0.

Passo 1

O enunciado pede o volume do conjunto
A = (x,y,z)inR^3 : 4x+2y <= z <= 3x+y+1,;x>=0,;y>=0
Vamos usar integração tripla e a técnica de projetar em xy para escrever
Vol(A)=integral duplaDl(zsup-zinfr),dA,
onde zinf=4x+2y e zsup=3x+y+1.

Passo 2

Para existir pontos em A precisamos de
4x+2y<=3x+y+1 Longrightarrow x+y<=1,
com x>=0, y>=0. Logo a projeção D é o triângulo
D=(x,y):0<= x<=1,;0<= y<=1-x

Passo 3

Escrevemos o volume como
Vol(A) =integral duplaDl[(3x+y+1)-(4x+2y)r],dA =integral duplaD(1 - x - y),dA

Passo 4

Calculamos em ordem y depois x:
integral0^1!integral0^1-x(1 - x - y),dy,dx =integral0^1l[(1-x)y-tfracy^22r]0^1-xdx =integral0^1(1-x)^22,dx

Passo 5

Agora integramos em x:
integral0^1(1-x)^22,dx =12integral0^1(1-x)^2,dx =12cdot13 =16

Resposta

O volume de A é 16.

Exercícios relacionados