Calcule o volume do conjunto A dado.
A=(x, y, z) in R^3: x^2+4 y^2 <= 4 e x+y <= z <= x+y+1.

Passo 1

O enunciado pede o volume do conjunto
A = (x,y,z)inR^3 : x^2 + 4y^2 <= 4,; x+y <= z <= x+y+1
Isso é um problema de volume em coordenadas cartesianas, onde usamos integração tripla para calcular
V = integral triplaA dV.

Passo 2

Escrevendo o volume como integral iterada, primeiro integramos em z entre as superfícies dadas e depois sobre a região D no plano xy:
V ;=;integral duplaDl(integralz=x+y^,z=x+y+1dzr),dA,
onde
D = (x,y)inR^2 : x^2 + 4y^2 <= 4

Passo 3

A integral interna em z é simples, pois
integralx+y^,x+y+1dz = (x+y+1)-(x+y) = 1
Logo
V = integral duplaD1,dA

Passo 4

Isso mostra que o volume de A é exatamente a área da região D. Ou seja,
V = Area(D)

Passo 5

A região D é a elipse
x^2 + 4y^2 <= 4 Long<=ftrightarrow x^22^2 + y^21^2 <= 1,
cujo semieixo maior vale a=2 e semieixo menor vale b=1. A área de uma elipse é
pi,a,b = picdot 2cdot 1 = 2pi

Resposta

O volume do conjunto A é
2pi

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