Nos problemas 21-30, determine mathscrL^-1F.
F(s)=7 s^2-41 s+84(s-1)(s^2-4 s+13)

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa mathscrL^-1F(s) de
F(s)=7s^2-41s+84(s-1),(s^2-4s+13)
O conteúdo envolve decomposição em frações parciais e uso de tabelas de transformada inversa de Laplace.

Passo 2

Escrevemos a expansão em frações parciais
7s^2-41s+84(s-1)(s^2-4s+13) =As-1+Bs+Cs^2-4s+13
Multiplicando por (s-1)(s^2-4s+13) e igualando numeradores,
7s^2-41s+84 =A(s^2-4s+13)+(Bs+C)(s-1)

Passo 3

Expandindo e agrupando em potências de
Isso gera o sistema
Resolvend o sistema: , .

Passo 4

Completamos o quadrado no denominador e ajustamos o numerador:
s^2-4s+13=(s-2)^2+3^2, 2s-19=2(s-2)-15
Logo
Bs+Cs^2-4s+13 =2(s-2)(s-2)^2+3^2 -15(s-2)^2+3^2

Passo 5

Aplicando as fórmulas conhecidas
mathscrL^-1ltfrac1s-1r=e^t, mathscrL^-1ltfracs-2(s-2)^2+3^2r=e^2tcos(3t), mathscrL^-1ltfrac3(s-2)^2+3^2r=e^2tsin(3t),
obtemos
mathscrL^-1F(s) =5e^t +2,e^2tcos(3t) -5,e^2tsin(3t)

Resposta

f(t)=5e^t+2e^2tcos(3t)-5e^2tsin(3t)

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