Nos problemas 21-30, determine mathscrL^-1F.
F(s)=7 s^2+23 s+30(s-2)(s^2+2 s+5)

Passo 1

Beleza! Vamos resolver o problema de encontrar a transformada inversa de Laplace de F(s) = 7s^2 + 23s + 30(s - 2)(s^2 + 2s + 5) .
Conteúdo da matéria: Transformadas de Laplace e transformadas inversas, especialmente usando frações parciais.
O que vamos precisar:
  • Conhecimento básico de frações parciais.
  • Fórmulas de transformadas de Laplace inversas para funções racionais.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função F(s) para facilitar a decomposição em frações parciais:
F(s) = 7s^2 + 23s + 30(s - 2)(s^2 + 2s + 5)
Aqui, o denominador é o produto de um termo linear (s - 2) e um termo quadrático (s^2 + 2s + 5) .

Passo 3

Agora, vamos decompor F(s) em frações parciais. Assumimos que:
7s^2 + 23s + 30(s - 2)(s^2 + 2s + 5) = As - 2 + Bs + Cs^2 + 2s + 5
Explicação: Quando temos fatores lineares e quadráticos no denominador, representamos a fração parciais correspondentes com constantes no numerador para cada fator.

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum (s - 2)(s^2 + 2s + 5) para eliminar as frações:
7s^2 + 23s + 30 = A(s^2 + 2s + 5) + (Bs + C)(s - 2)

Passo 5

Expandimos o lado direito da equação:
7s^2 + 23s + 30 = A s^2 + 2A s + 5A + B s^2 - 2B s + C s - 2C
Agora, agrupamos os termos semelhantes:
7s^2 + 23s + 30 = (A + B)s^2 + (2A - 2B + C)s + (5A - 2C)

Passo 6

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes em ambos os lados da equação:
A + B = 7 2A - 2B + C = 23 5A - 2C = 30

Passo 7

Resolvemos esse sistema de equações para encontrar os valores de A , B e C .
Primeiro, da primeira equação:
A = 7 - B
Agora, substituímos A nas outras equações.
Segunda equação:
2(7 - B) - 2B + C = 23 14 - 2B - 2B + C = 23 14 - 4B + C = 23 -4B + C = 9 (Equação 2) çã
Terceira equação:
5(7 - B) - 2C = 30 35 - 5B - 2C = 30 -5B - 2C = -5 (Equação 3) çã

Passo 8

Agora, temos o sistema:
-4B + C = 9 (Equação 2) -5B - 2C = -5 (Equação 3) çãçã
Podemos resolver este sistema. Vamos resolver a Equação 2 para C :
C = 9 + 4B
Substituímos C na Equação 3:
-5B - 2(9 + 4B) = -5 -5B - 18 - 8B = -5 -13B - 18 = -5 -13B = 13 B = -1
Agora, substituímos B = -1 na expressão para C :
C = 9 + 4(-1) = 9 - 4 = 5
E, finalmente, A = 7 - B = 7 - (-1) = 8 .

Passo 9

Agora que encontramos A = 8 , B = -1 e C = 5 , podemos escrever a decomposição em frações parciais:
7s^2 + 23s + 30(s - 2)(s^2 + 2s + 5) = 8s - 2 + -s + 5s^2 + 2s + 5

Passo 10

Agora, vamos encontrar a transformada inversa de Laplace de cada termo separadamente.
Primeiro, para 8s - 2 :
A transformada inversa de 1s - a é e^a t . Então,
mathscrL^-1 8s - 2 = 8 e^2 t
Segundo, para -s + 5s^2 + 2s + 5 :
Primeiro, completamos o quadrado no denominador:
s^2 + 2s + 5 = (s + 1)^2 + 4
Então, reescrevemos o numerador:
-s + 5 = - (s + 1) + 6
Portanto,
-s + 5s^2 + 2s + 5 = -(s + 1)(s + 1)^2 + 4 + 6(s + 1)^2 + 4
A transformada inversa de s + a(s + a)^2 + b^2 é e^-a t cos(b t) e de b(s + a)^2 + b^2 é e^-a t sin(b t) . Então,
mathscrL^-1 -(s + 1)(s + 1)^2 + 4 = -e^- t cos(2 t)
mathscrL^-1 6(s + 1)^2 + 4 = 3 e^- t sin(2 t)

Resposta

Juntando tudo, a transformada inversa de F(s) é:
mathscrL^-1F(s) = 8 e^2 t - e^- t cos(2 t) + 3 e^- t sin(2 t)

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