Calcule o volume do conjunto
dado.
e
.
Passo 1
O enunciado pede o volume do conjunto
Aqui vamos usar a definição de volume via integral tripla e o Teorema de Fubini, escolhendo uma ordem de integração favorável.
Passo 2
Primeiro projetamos
no plano
. As condições em
e
são
Logo podemos tomar
variando de
a
e, para cada
,
variando de
a
. Para
temos
Passo 3
Escrevemos a integral tripla de
sobre
:
Integramos primeiro em
:
Passo 4
Fica então
Agora integramos em
, lembrando que
é constante em relação a
:
Passo 5
Portanto o volume reduz-se a
Fazemos a substituição
, de modo que
e quando
vai de
a
,
vai de
a
. Assim
Passo 6
Calculamos a integral em
:
Resposta
O volume do conjunto
é