Calcule o volume do conjunto A dado.
A=(x, y, z) in R^3: x >= 0, x <= y <= 1 e 0 <= z <= e^y^2.

Passo 1

O enunciado pede o volume do conjunto
A = (x,y,z)inR^3 mid x>=0, x<= y<=1, 0<= z <= e^y^2
Aqui vamos usar a definição de volume via integral tripla e o Teorema de Fubini, escolhendo uma ordem de integração favorável.

Passo 2

Primeiro projetamos A no plano xy. As condições em x e y são
0 <= x <= y <= 1
Logo podemos tomar y variando de 0 a 1 e, para cada y, x variando de 0 a y. Para z temos
0 <= z <= e^y^2

Passo 3

Escrevemos a integral tripla de 1 sobre A:
Vol(A) = integraly=0^1 integralx=0^y integralz=0^e^y^2 1 ,dz,dx,dy
Integramos primeiro em z:
integral0^e^y^2 1 ,dz = e^y^2

Passo 4

Fica então
integraly=0^1 integralx=0^y e^y^2,dx,dy
Agora integramos em x, lembrando que e^y^2 é constante em relação a x:
integral0^y e^y^2,dx = y,e^y^2

Passo 5

Portanto o volume reduz-se a
integraly=0^1 y,e^y^2,dy
Fazemos a substituição u = y^2, de modo que du = 2y,dy e quando y vai de 0 a 1, u vai de 0 a 1. Assim
integral0^1 y,e^y^2,dy = 12 integral0^1 e^u,du

Passo 6

Calculamos a integral em u:
12 integral0^1 e^u,du = 12l[e^ur]0^1 = 12l(e - 1r)

Resposta

O volume do conjunto A é
boxede - 12

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