Nos problemas 21-30, determine mathscrL^-1F.
s^2 F(s)-4 F(s)=5s+1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos a transformada inversa de Laplace de F(s) , dado pela equação s^2 F(s) - 4 F(s) = 5s + 1 . Vamos usar conceitos de transformadas de Laplace e álgebra para chegar na solução.

Passo 2

Primeiro, vamos isolar F(s) na equação fornecida. Podemos fatorar F(s) da esquerda:
s^2 F(s) - 4 F(s) = F(s)(s^2 - 4) = 5s + 1
Então, isolando F(s) :
F(s) = 5(s + 1)(s^2 - 4)

Passo 3

Agora, precisamos simplificar F(s) para facilitar a aplicação da transformada inversa. Vamos decompor em frações parciais. Primeiro, fatoramos s^2 - 4 :
s^2 - 4 = (s - 2)(s + 2)
Então, F(s) fica:
F(s) = 5(s + 1)(s - 2)(s + 2)
Vamos supor que podemos escrever F(s) como:
5(s + 1)(s - 2)(s + 2) = As + 1 + Bs - 2 + Cs + 2

Passo 4

Agora, precisamos encontrar os valores de A , B e C . Multiplicamos ambos os lados por (s + 1)(s - 2)(s + 2) para eliminar os denominadores:
5 = A(s - 2)(s + 2) + B(s + 1)(s + 2) + C(s + 1)(s - 2)
Vamos escolher valores de s que simplifiquem a equação:
  • Para s = -1 :
5 = A(-1 - 2)(-1 + 2) + 0 + 0 Rightarrow 5 = A(-3)(1) Rightarrow A = -53
  • Para s = 2 :
5 = 0 + B(2 + 1)(2 + 2) + 0 Rightarrow 5 = B(3)(4) Rightarrow B = 512
  • Para s = -2 :
5 = 0 + 0 + C(-2 + 1)(-2 - 2) Rightarrow 5 = C(-1)(-4) Rightarrow C = 54

Passo 5

Com os valores de A , B e C encontrados, podemos reescrever F(s) :
F(s) = -53 cdot 1s + 1 + 512 cdot 1s - 2 + 54 cdot 1s + 2

Passo 6

Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace em cada termo separadamente. Sabemos que:
mathscrL^-11s - a = e^a t
Aplicando isso a cada fração:
mathscrL^-1F(s) = -53 e^-t + 512 e^2 t + 54 e^-2 t

Resposta

A transformada inversa de Laplace de F(s) é:
f(t) = -53 e^-t + 512 e^2 t + 54 e^-2 t

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