Calcule o volume do conjunto A dado.
A=(x, y, z) in R^3: 0 <= z <= sen y^3 e raizx <= y <= raiz[3]pi.

Passo 1

O enunciado define o conjunto AsubsetR^3 por
A=(x,y,z)mid 0<= z<= sin(y^3), raizx<= y<= raiz[3]pi
Queremos calcular o volume de A usando um integral triplo. O conteúdo necessário é a teoria de integração múltipla e troca de variáveis em integrais.

Passo 2

Vamos projetar A no plano xy. A condição raizx<= y implica x>=0 e x<= y^2. Além disso y varia de 0 (pois raizx>=0) até raiz[3]pi. Para cada (x,y) nessa projeção, z varia de 0 até sin(y^3). Logo
V(A)=integral triplaAdV =integraly=0^raiz[3]piintegralx=0^y^2integralz=0^sin(y^3)dz,dx,dy

Passo 3

Integramos primeiro em z e x:
integralz=0^sin(y^3)dz=sin(y^3),
integralx=0^y^2sin(y^3),dx =y^2,sin(y^3)
Portanto
V(A)=integral0^raiz[3]piy^2sin(y^3),dy

Passo 4

Fazemos a mudança de variável t=y^3, com dt=3y^2,dy. Quando y=0, t=0; quando y=raiz[3]pi, t=pi. Assim
V(A) =integral0^raiz[3]piy^2sin(y^3),dy =13integral0^pisin t,dt =13l[-cos tr]0^pi =13l[-cospi+cos0r] =23

Resposta

O volume de A é tfrac23.

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