Calcule o volume do conjunto
dado.
.
Passo 1
O enunciado pede calcular o volume do conjunto
Vamos usar integração tripla de forma que projetamos A no plano xy e, sobre essa projeção, integramos a diferença entre a superfície de cima e a de baixo.
Passo 2
Para existir ponto em A, é preciso
isto é,
Portanto a projeção de A no plano xy é a região
Passo 3
A “altura” de A em cada
é
Logo o volume é
Passo 4
Para transformar a elipse em círculo, fazemos
de modo que
e a condição em D vira
O integrando se torna
Passo 5
No disco unitário em
usamos coordenadas polares
com Jacobiano
. Assim
Passo 6
Primeiro a integral em
:
Então
Resposta
O volume do conjunto
é