Calcule o volume do conjunto A dado.
A=(x, y, z) in R^3: x^2+y^2 <= z <= 1-x^2.

Passo 1

O enunciado pede calcular o volume do conjunto
A = (x,y,z)inR^3 mid x^2+y^2 <= z <= 1 - x^2
Vamos usar integração tripla de forma que projetamos A no plano xy e, sobre essa projeção, integramos a diferença entre a superfície de cima e a de baixo.

Passo 2

Para existir ponto em A, é preciso
x^2 + y^2 <= 1 - x^2,
isto é,
2x^2 + y^2 <= 1
Portanto a projeção de A no plano xy é a região
D = (x,y)mid 2x^2 + y^2 <= 1

Passo 3

A “altura” de A em cada (x,y) é
zsup - zinf = (1 - x^2) - (x^2 + y^2) = 1 - 2x^2 - y^2
Logo o volume é
V = integral duplaD (1 - 2x^2 - y^2),dx,dy

Passo 4

Para transformar a elipse em círculo, fazemos
u = raiz2,x, v = y,
de modo que
x = uraiz2, y = v, dx,dy = 1raiz2,du,dv,
e a condição em D vira
u^2 + v^2 <= 1
O integrando se torna
1 - 2l(uraiz2r)^2 - v^2 = 1 - u^2 - v^2

Passo 5

No disco unitário em (u,v) usamos coordenadas polares
u = rcostheta, v = rsintheta, rin[0,1], thetain[0,2pi],
com Jacobiano r. Assim
V = integral0^2pi!!integral0^1 1raiz2,(1 - r^2),r,dr,dtheta

Passo 6

Primeiro a integral em r:
integral0^1(1 - r^2),r,dr = integral0^1(r - r^3),dr = l[tfracr^22 - tfracr^44r]0^1 = 12 - 14 = 14
Então
V = 1raiz2cdot 2picdot 14 = pi2raiz2 = piraiz24

Resposta

O volume do conjunto A é
V = pi2raiz2 l(= tfracpiraiz24r)

Exercícios relacionados