Nos problemas 21-30, determine mathscrL^-1F.
s F(s)+2 F(s)=10 s^2+12 s+14s^2-2 s+2

Passo 1

O enunciado dá
sF(s)+2F(s)=10s^2+12s+14s^2-2s+2
e pede mathscrL^-1F(s).
Conteúdo: transformada inversa da Laplace usando decomposição em frações parciais.

Passo 2

Isolando F(s):
(s+2)F(s)=10s^2+12s+14s^2-2s+2 Longrightarrow F(s)=10s^2+12s+14(s+2)l(s^2-2s+2r)

Passo 3

Fazemos frações parciais:
10s^2+12s+14(s+2)(s^2-2s+2) =As+2+Bs+Cs^2-2s+2
Multiplicando por (s+2)(s^2-2s+2) fica
10s^2+12s+14 = A,(s^2-2s+2)+(Bs+C)(s+2)

Passo 4

Expandindo e igualando coeficientes em
Daí , .

Passo 5

Substituindo em F(s):
F(s)=3s+2+7s+4s^2-2s+2
Repare que
s^2-2s+2=(s-1)^2+1, 7s+4=7(s-1)+11,
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7s+4(s-1)^2+1 =7,s-1(s-1)^2+1 +11,1(s-1)^2+1

Passo 6

Usamos as transformadas inversas conhecidas:
mathscrL^-1tfrac1s+2=e^-2t,
mathscrL^-1tfracs-1(s-1)^2+1=e^tcos t,
mathscrL^-1tfrac1(s-1)^2+1=e^tsin t.
Assim
f(t)=3e^-2t+7e^tcos t+11e^tsin t

Resposta

f(t)=3e^-2t+7e^tcos t+11e^tsin t

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