Calcule o volume do conjunto A dado.
A=(x, y, z) in R^3: x <= y <= 1, x >= 0, z >= 0 e z^2+x^4+x^2 y^2 <= 2 x^2.

Passo 1

O enunciado pede o volume de
A = (x,y,z)in R^3:0<= x<= y<=1,;z>=0,;z^2 + x^4 + x^2y^2 <= 2x^2
O conteúdo é cálculo de volume por integração tripla em coordenadas cartesianas. Vamos achar os limites de z em função de (x,y) e depois descrever a região projetada no plano xy.

Passo 2

Da desigualdade z^2 + x^4 + x^2 y^2 <= 2 x^2 obtemos
z^2 <= 2 x^2 - x^4 - x^2 y^2 ;Longrightarrow; 0 <= z <= raiz2 x^2 - x^4 - x^2 y^2 = x raiz2 - x^2 - y^2
Quanto a (x,y), temos 0 <= x <= y <= 1 e ainda 2 x^2 - x^4 - x^2 y^2 >= 0, i.e.\ x^2 + y^2 <= 2. Mas, para 0 <= x,y <= 1, essa última condição é sempre satisfeita. Logo a projeção D no plano xy é
D = (x,y) : 0 <= x <= 1,; x <= y <= 1

Passo 3

O volume é
V = integral triplaA dV = integralx=0^1!integraly=x^1!integralz=0^xraiz2 - x^2 - y^2 dz,dy,dx
Integramos em z imediatamente:
V = integral0^1!integralx^1 xraiz2 - x^2 - y^2;dy,dx
Em seguida trocamos a ordem para (y,x):
V = integraly=0^1!integralx=0^y xraiz2 - x^2 - y^2;dx,dy

Passo 4

Calculemos a integral interna em x via u-substituição:
u = 2 - x^2 - y^2, du = -2x,dx ;Longrightarrow; x,dx = -tfrac12,du
Quando x=0, u=2-y^2; quando x=y, u=2-2y^2. Logo
integral0^y xraiz2 - x^2 - y^2,dx = integralu=2-y^2^2-2y^2 -tfrac12,u^1/2,du = tfrac12integral2-2y^2^2-y^2 u^1/2,du = tfrac13l[(2 - y^2)^3/2 - (2 - 2y^2)^3/2r]
Portanto
V = integral0^1 tfrac13l[(2 - y^2)^3/2 - (2 - 2y^2)^3/2r] dy = tfrac13l(I1 - I2r),
onde
I1 = integral0^1(2 - y^2)^3/2dy, I2 = integral0^1(2 - 2y^2)^3/2dy

Passo 5

Para I1, use y=raiz2sin t, dy=raiz2cos t,dt, tin[0,pi/4]. Então
2 - y^2 = 2cos^2t, (2-y^2)^3/2=2raiz2cos^3t,
e
I1 = integral0^pi/42raiz2cos^3t;raiz2cos t,dt =4integral0^pi/4cos^4t,dt
Usamos a identidade cos^4t = tfrac3+4cos2t+cos4t8 para chegar a
integral0^pi/4cos^4t,dt = 3pi32 + 14,
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I1 = 4l(3pi32 + 14r) = 3pi8 + 1

Passo 6

Para I2, fatoramos 2^3/2 e usamos y=sinphi, phiin[0,pi/2]:
I2 =2raiz2integral0^1(1 - y^2)^3/2dy =2raiz2integral0^pi/2cos^3phi;cosphi,dphi =2raiz2integral0^pi/2cos^4phi,dphi
Sabendo que integral0^pi/2cos^4phi,dphi = tfrac3pi16, segue
I2 = 2raiz2;3pi16 = 3piraiz28

Passo 7

Substituindo em V=tfrac13(I1 - I2), obtemos
V = 13l(l(tfrac3pi8+1r) - tfrac3piraiz28r) = 13 + pi8(1 - raiz2)

Resposta

boxedV = 13 ;+;pi8,l(1 - raiz2r)

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