Calcule o volume do conjunto
dado.
e
.
Passo 1
O enunciado pede o volume de
O conteúdo é cálculo de volume por integração tripla em coordenadas cartesianas. Vamos achar os limites de
em função de
e depois descrever a região projetada no plano
.
Passo 2
Da desigualdade
obtemos
Quanto a
, temos
e ainda
, i.e.\
. Mas, para
, essa última condição é sempre satisfeita. Logo a projeção
no plano
é
Passo 3
O volume é
Integramos em
imediatamente:
Em seguida trocamos a ordem para
:
Passo 4
Calculemos a integral interna em
via
-substituição:
Quando
,
; quando
,
. Logo
Portanto
onde
Passo 5
Para
, use
,
,
. Então
e
Usamos a identidade
para chegar a
logo
Passo 6
Para
, fatoramos
e usamos
,
:
Sabendo que
, segue
Passo 7
Substituindo em
, obtemos