Nos problemas 21-30, determine mathscrL^-1F.
s F(s)-F(s)=2 s+5s^2+2 s+1

Passo 1

O enunciado nos dá uma função F(s) satisfazendo
s,F(s)-F(s)=2s+5s^2+2s+1
Queremos encontrar f(t)=mathscrL^-1F(s). Para isso vamos primeiro isolar F(s) em termos de funções racionais de s e depois usar frações parciais para inverter a transformada de Laplace.

Passo 2

Observe que
s,F(s)-F(s)=(s-1),F(s)
portanto
(s-1),F(s)=2s+5(s+1)^2 Longrightarrow F(s)=2s+5(s-1)(s+1)^2

Passo 3

Fazemos a decomposição em frações parciais
2s+5(s-1)(s+1)^2 =As-1+Bs+1+C(s+1)^2
Multiplicando ambos os lados por (s-1)(s+1)^2 e igualando coeficientes obtemos
2s+5 =A(s+1)^2+B(s-1)(s+1)+C(s-1)
Comparando coeficientes:
A+B=0, 2A+C=2, A - B - C=5 Longrightarrow A=74,; B=-74,; C=-32
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F(s) =7/4s-1 -7/4s+1 -3/2(s+1)^2

Passo 4

Aplicando a transformada inversa termo a termo, lembrando que
mathscrL^-1l1s-1r=e^t, mathscrL^-1l1s+1r=e^-t, mathscrL^-1l1(s+1)^2r=t,e^-t,
temos
f(t)=74e^t -74e^-t -32,t,e^-t, t>=0

Resposta

f(t)=74e^t-74e^-t-32,t,e^-t

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