Determine a transformada de Laplace de cada uma das seguintes funções:
f1(t)= 0, & t=2, t, & t neq 2

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar a transformada de Laplace de uma função específica f1(t). A transformada de Laplace é uma ferramenta matemática usada para transformar funções do tempo para o domínio da frequência, facilitando resolver equações diferenciais. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como calcular a transformada de Laplace básica e entender um pouquinho sobre propriedades das funções pontuais.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função [f_{1}(t)). Ela é definida da seguinte forma:
Isso significa que para todo valor de , e exatamente em , ela vale 0.

Passo 3

Agora, precisamos lembrar que a transformada de Laplace de uma função f(t) é dada por:
Lf(t) = integral0^infty f(t) e^-st dt
Essa fórmula transforma a função do tempo f(t) para a variável s, que é uma frequência complexa.

Passo 4

Com isso em mente, vamos aplicar a transformada de Laplace na nossa função f1(t):
Lf1(t) = integral0^infty f1(t) e^-st dt
Mas antes de integrar, vamos considerar o que a função f1(t) faz. Ela é igual a t em todos os lugares menos em t=2, onde ela é 0.

Passo 5

Aqui, precisamos lembrar que pontos isolados (como t=2) não afetam a integral, porque eles têm “área” zero na integral. Então, mesmo que a função seja 0 em t=2, isso não muda o valor da integral. Assim, podemos tratar f1(t) como apenas t para fins da transformação.

Passo 6

Portanto, a transformada de Laplace de f1(t) é a mesma da transformada de t:
Lt = 1s^2
Essa é uma fórmula padrão que você pode encontrar em tabelas de transformadas de Laplace.

Resposta

A transformada de Laplace de f1(t) é 1s^2.

Exercícios relacionados