Determine a transformada de Laplace de cada uma das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar a transformada de Laplace de uma função específica
. A transformada de Laplace é uma ferramenta matemática usada para transformar funções do tempo para o domínio da frequência, facilitando resolver equações diferenciais. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como calcular a transformada de Laplace básica e entender um pouquinho sobre propriedades das funções pontuais.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a função [f_{1}(t)). Ela é definida da seguinte forma:
Isso significa que para todo valor de , e exatamente em
, ela vale 0.
Passo 3
Agora, precisamos lembrar que a transformada de Laplace de uma função
é dada por:
Essa fórmula transforma a função do tempo
para a variável
, que é uma frequência complexa.
Passo 4
Com isso em mente, vamos aplicar a transformada de Laplace na nossa função
:
Mas antes de integrar, vamos considerar o que a função
faz. Ela é igual a
em todos os lugares menos em
, onde ela é 0.
Passo 5
Aqui, precisamos lembrar que pontos isolados (como
) não afetam a integral, porque eles têm “área” zero na integral. Então, mesmo que a função seja 0 em
, isso não muda o valor da integral. Assim, podemos tratar
como apenas
para fins da transformação.
Passo 6
Portanto, a transformada de Laplace de
é a mesma da transformada de
:
Essa é uma fórmula padrão que você pode encontrar em tabelas de transformadas de Laplace.
Resposta
A transformada de Laplace de
é
.