Calcule o volume do conjunto dado:
(x, y, z) in R^3 ; 0 <= x <= 1,0 <= y <= 1,0 <= z <= x+2 y.

Passo 1

O enunciado nos dá o subconjunto de R^3
(x,y,z)mid 0<= x<=1,;0<= y<=1,;0<= z<= x+2y
e pede o seu volume. O conteúdo aqui é cálculo de integrais múltiplas para volume, usando a definição
V=integral triplaD1,dV

Passo 2

Vamos montar a integral tripla em coordenadas cartesianas, integrando primeiro em z, depois em y e por fim em x:
V=integralx=0^1integraly=0^1integralz=0^x+2y1,dz,dy,dx

Passo 3

Calculamos a integral interna em z:
integralz=0^x+2y1,dz = (x+2y)-0 = x+2y
Logo
V=integralx=0^1integraly=0^1(x+2y),dy,dx

Passo 4

Agora integramos em y:
integraly=0^1(x+2y),dy = integral0^1x,dy + 2integral0^1y,dy = xcdot1 + 2cdot1^22 = x+1
Portanto
V=integralx=0^1(x+1),dx

Passo 5

Finalmente, integramos em x:
integral0^1(x+1),dx = [x^22+x]0^1 = 12+1 = 32

Resposta

O volume do conjunto é tfrac32.

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