Calcule o volume do conjunto dado:
(x, y, z) in R^3 ; 0 <= x <= 2,1 <= y <= 2,0 <= z <= x y.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido em R^3 limitado por
,0<= x<=2, ,1<= y<=2 e ,0<= z<= x y.
O método é usar integrais triplas e o Teorema de Fubini para calcular
V=integral triplaregiãodV ã

Passo 2

Pelo Teorema de Fubini, escrevemos
V ;=;integralx=0^2!integraly=1^2!integralz=0^xydz,dy,dx

Passo 3

Integrando primeiro em z, temos
integral0^xydz = xy,
portanto
V = integral0^2!integral1^2 xy,dy,dx

Passo 4

Agora integramos em y:
integral1^2xy,dy = xintegral1^2y,dy = xl[tfracy^22r]1^2 = xl(2 - tfrac12r) = tfrac32,x
Logo
V = integral0^2tfrac32,x,dx

Passo 5

Finalmente, integramos em x:
integral0^2tfrac32,x,dx = tfrac32l[tfracx^22r]0^2 = tfrac32cdot2 =3

Resposta

O volume do sólido é 3.

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