Esboce o gráfico de f, determine lim x a^- f(x), lim x a^+ f(x) e, caso exista, lim x a f(x).
f(x)=csen(x), se x>pi2 cos (x), se -pi<x <= pi2 tg(x), se x <=-pi (a=pi2)

Passo 1

O enunciado define a função por partes
f(x)= sin(x), & x>tfracpi2, cos(x), & -pi<x<=tfracpi2, tan(x), & x<= -pi,
pede para esboçar o gráfico e, com a=tfracpi2, calcular
limxto a^-f(x), limxto a^+f(x) e, se existir, limxto af(x).
Conteúdo: funções definidas por partes, limites laterais e continuidade de funções trigonométricas.

Passo 2

Para desenhar o gráfico, note os três ramos:
– Para x<= -pi, f(x)=tan(x), que é contínua em pontos onde está definida, com um ponto fechado em l(-pi,tan(-pi)r)=(-pi,0).
– Para -pi<x<=tfracpi2, f(x)=cos(x), contínua no intervalo aberto em -pi (círculo aberto em l(-pi,cos(-pi)r)=(-pi,-1)) e fechada em l(tfracpi2,cos(tfracpi2)r)=(tfracpi2,0).
– Para x>tfracpi2, f(x)=sin(x), contínua, com círculo aberto em l(tfracpi2,sin(tfracpi2)r)=(tfracpi2,1).

Passo 3

Cálculo de limxtopi2^-f(x):
Quando x se aproxima de tfracpi2 pela esquerda, usamos f(x)=cos(x), que é contínua em tfracpi2. Logo,
limxtopi2^-f(x) =limxtopi2^-cos(x) =cos!l(tfracpi2r) =0

Passo 4

Cálculo de limxtopi2^+f(x):
Quando x se aproxima de tfracpi2 pela direita, usamos f(x)=sin(x), contínua em tfracpi2. Assim,
limxtopi2^+f(x) =limxtopi2^+sin(x) =sin!l(tfracpi2r) =1

Passo 5

Verificação da existência de limxtopi2f(x):
Como limxtopi2^-f(x)=0 e limxtopi2^+f(x)=1 são diferentes, o limite bilateral não existe. Note que fl(tfracpi2r)=cos(tfracpi2)=0, mas aquilo não faz o limite existir quando as laterais não coincidem.

Resposta

limxtopi2^-f(x)=0,
limxtopi2^+f(x)=1,
limxtopi2f(x) não existe.

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