Verifique se as séries convergem ou não:
(1+1n^2)^n

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a sequência
an = (1+1n^2)^n
converge ou não. O conteúdo aqui é cálculo de limite de sequência, e vamos usar transformação logarítmica e expansão em série de Taylor para pequenos argumentos.

Passo 2

Definimos
an = l(1+1n^2r)^n
Para analisar o limite de an, consideramos primeiro o logaritmo natural
ln(an) = n,lnl(1+1n^2r)

Passo 3

Usamos a expansão de Taylor de ln(1+x) para |x|ll1:
ln(1+x) = x - x^22 + o(x^2)
Aqui x = 1/n^2, logo
lnl(1+1n^2r) = 1n^2 - 12n^4 + o!l(1n^4r)
Multiplicando por n, obtemos
n,lnl(1+1n^2r) = 1n - 12n^3 + o!l(1n^3r)

Passo 4

Como 1nto0 e 12n^3to0 quando ntoinfty, segue
limntoinftyn,lnl(1+1n^2r)=0
Portanto
limntoinftyln(an)=0 Longrightarrow limntoinftyan = e^0 = 1

Resposta

A sequência converge e
limntoinftyl(1+1n^2r)^n = 1

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