Verifique se as séries convergem ou não:
(1+13 n)^n

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a sequência
an = l(1 + 13nr)^n
converge ou não.
O conteúdo necessário é o limite fundamental
limktoinftyl(1+1kr)^k=e
e manipulações de expoentes.

Passo 2

Reescrevemos an de forma a aproveitar o limite fundamental. Observe que
an = l(1 + 13nr)^n = l[l(1 + 13nr)^3nr]^13

Passo 3

Defina k = 3n. Quando ntoinfty, também ktoinfty, e vale
limntoinftyl(1 + 13nr)^3n = limktoinftyl(1 + 1kr)^k = e
Logo,
limntoinftyan = limntoinftyl[l(1 + tfrac13nr)^3nr]^tfrac13 = e^tfrac13

Passo 4

Como o limite existe e é finito, concluímos que a sequência converge.

Resposta

A sequência l(1 + tfrac13nr)^n converge e
limntoinftyl(1 + tfrac13nr)^n = e^tfrac13

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