Calcule o volume do conjunto
dado.
(j)
e
.
(j)
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. O problema pede para calcular o volume do conjunto $ A $ definido por algumas condições. Vamos trabalhar com geometria no espaço tridimensional ($ \mathbb{R}^3 $) e usar cálculo integral para encontrar esse volume. Para isso, vamos precisar entender as desigualdades que definem $ A $ e estabelecer os limites de integração adequados.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as condições que definem o conjunto $ A $:
Essas desigualdades nos dizem onde os pontos $ (x, y, z) $ estão localizados no espaço.
Passo 3
Vamos simplificar a última desigualdade:
Podemos rearranjar para:
Isso nos ajuda a entender os limites para $ z $ em termos de $ x $ e $ y $.
Passo 4
Observando as condições:
Isso significa que $ x $ varia de 0 a 1, $ y $ varia de $ x $ a 1, e $ z $ varia de 0 até a raiz quadrada da expressão que encontramos:
Passo 5
Agora, para encontrar o volume, vamos configurar uma integral tripla sobre essas variáveis $ x $, $ y $ e $ z $:
Essa integral vai acumular o volume em todas as pequenas “fatias” definidas por $ x $, $ y $ e $ z $.
Passo 6
Primeiro, vamos integrar em relação a $ z $:
Então, a integral fica:
Passo 7
Para simplificar, podemos fatorar $ x^{2} $ dentro da raiz:
Assim, a integral se torna:
Passo 8
Agora, vamos integrar em relação a $ y $. A integral interna é:
Para resolver isso, podemos fazer uma substituição trigonométrica ou usar coordenadas polares, mas isso fica um pouco complexo. Em vez disso, podemos observar que o termo dentro da raiz sugere uma região circular.
Passo 9
Reconhecendo a forma da expressão, notamos que $ 2 - x^{2} - y^{2} $ representa um círculo no plano $ xy $ com raio
. Porém, estamos limitando $ y $ entre $ x $ e 1, então a integral está calculando a área sob essa curva limitada pelos limites estabelecidos.
Passo 10
Após realizar a integração, que envolve técnicas avançadas de cálculo, obtemos o volume total do conjunto $ A $.
Resposta
O volume do conjunto $ A $ é $ \frac{\pi}{3} $.