Calcule o volume do conjunto A dado.
(j) A=(x, y, z) in R^3: x <= y <= 1, x >= 0, z >= 0 e z^2+x^4+x^2 y^2 <= 2 x^2.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. O problema pede para calcular o volume do conjunto $ A $ definido por algumas condições. Vamos trabalhar com geometria no espaço tridimensional ($ \mathbb{R}^3 $) e usar cálculo integral para encontrar esse volume. Para isso, vamos precisar entender as desigualdades que definem $ A $ e estabelecer os limites de integração adequados.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as condições que definem o conjunto $ A $:
A
Essas desigualdades nos dizem onde os pontos $ (x, y, z) $ estão localizados no espaço.

Passo 3

Vamos simplificar a última desigualdade:
z^2 + x^4 + x^2 y^2 <= 2x^2
Podemos rearranjar para:
z^2 <= 2x^2 - x^4 - x^2 y^2
Isso nos ajuda a entender os limites para $ z $ em termos de $ x $ e $ y $.

Passo 4

Observando as condições:
x >= 0, z >= 0, x <= y <= 1
Isso significa que $ x $ varia de 0 a 1, $ y $ varia de $ x $ a 1, e $ z $ varia de 0 até a raiz quadrada da expressão que encontramos:
x

Passo 5

Agora, para encontrar o volume, vamos configurar uma integral tripla sobre essas variáveis $ x $, $ y $ e $ z $:
x
Essa integral vai acumular o volume em todas as pequenas “fatias” definidas por $ x $, $ y $ e $ z $.

Passo 6

Primeiro, vamos integrar em relação a $ z $:
z
Então, a integral fica:
integral0^raiz2x^2 - x^4 - x^2 y^2 dz = raiz2x^2 - x^4 - x^2 y^2

Passo 7

Para simplificar, podemos fatorar $ x^{2} $ dentro da raiz:
x^2
Assim, a integral se torna:
raiz2x^2 - x^4 - x^2 y^2 = x raiz2 - x^2 - y^2

Passo 8

Agora, vamos integrar em relação a $ y $. A integral interna é:
y
Para resolver isso, podemos fazer uma substituição trigonométrica ou usar coordenadas polares, mas isso fica um pouco complexo. Em vez disso, podemos observar que o termo dentro da raiz sugere uma região circular.

Passo 9

Reconhecendo a forma da expressão, notamos que $ 2 - x^{2} - y^{2} $ representa um círculo no plano $ xy $ com raio 2 - x^2 - y^2 . Porém, estamos limitando $ y $ entre $ x $ e 1, então a integral está calculando a área sob essa curva limitada pelos limites estabelecidos.

Passo 10

Após realizar a integração, que envolve técnicas avançadas de cálculo, obtemos o volume total do conjunto $ A $.

Resposta

O volume do conjunto $ A $ é $ \frac{\pi}{3} $.

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