Seja f(x, y)=rrx yx^2+y^2, & (x, y) neq(0,0) 0, & (x, y)=(0,0) Calcular partial fpartial x e partial fpartial y.

Passo 1

A função é dada por
f(x,y)=xyx^2+y^2,&(x,y)neq(0,0)0,&(x,y)=(0,0)
Queremos as derivadas parciais partial f/partial x e partial f/partial y. Para isso vamos usar a regra do quociente quando (x,y)neq(0,0) e, em seguida, a definição de derivada no ponto (0,0).

Passo 2

Para (x,y)neq(0,0) definimos u(x,y)=xy e v(x,y)=x^2+y^2. Pela regra do quociente temos
partial fpartial x=ux,v - u,vxv^2
onde ux=y e vx=2x. Substituindo:

Passo 3

Calculando o numerador:
ux,v - u,vx = y(x^2+y^2) - xy(2x) = yx^2 + y^3 -2x^2y = y(y^2 - x^2)
Logo para (x,y)neq(0,0)
partial fpartial x = y(y^2 - x^2)(x^2+y^2)^2

Passo 4

De modo análogo, para partial f/partial y aplicamos a regra do quociente com uy=x e vy=2y:
partial fpartial y = x(x^2+y^2) - xy(2y)(x^2+y^2)^2 = x^3 - xy^2(x^2+y^2)^2 = x(x^2 - y^2)(x^2+y^2)^2

Passo 5

No ponto (0,0) usamos a definição de derivada parcial em direção ao eixo: por exemplo
partial fpartial x(0,0)=limhto0f(h,0)-f(0,0)h = limhto00-0h = 0
Analogamente partial f/partial y(0,0)=0.

Resposta

Para (x,y)≠(0,0):
f_x = \frac{y(y^2 - x2)}{(x2+y2)2},
f_y = \frac{x(x^2 - y2)}{(x2+y2)2}.
No ponto (0,0): f_x(0,0)=0 e f_y(0,0)=0.

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