Considere a curva definida pela função
para
.
Calcule o comprimento da curva
no intervalo
.
Calcule o comprimento da curva
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a curva definida pela função
no intervalo de
. O objetivo é calcular o comprimento dessa curva nesse intervalo. Para isso, vamos usar o conceito de comprimento de arco na matéria de Cálculo, que nos ajuda a encontrar o tamanho total de uma curva entre dois pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula para calcular o comprimento de uma curva definida por
. A fórmula é:
Aqui,
é a derivada de
em relação a
, e
e
são os limites do intervalo, que nesse caso são 0 e 1.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de
em relação a
:
Passo 4
Agora, substituímos
na fórmula do comprimento de arco:
Passo 5
Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição adequada. Reconhecemos que a expressão sob a raiz,
, se ajusta à forma
, onde podemos aplicar uma técnica de integração padrão. A integral fica:
Passo 6
Integrando, obtemos:
Passo 7
Agora, substituímos os limites de integração:
Para
:
Para
:
Resposta
O comprimento da curva
no intervalo de
é: