Considere a curva definida pela função x=y^2 para 0 <= y <= 1.
Calcule o comprimento da curva x=y^2 no intervalo 0 <= y <= 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a curva definida pela função x = y^2 no intervalo de 0 <= y <= 1 . O objetivo é calcular o comprimento dessa curva nesse intervalo. Para isso, vamos usar o conceito de comprimento de arco na matéria de Cálculo, que nos ajuda a encontrar o tamanho total de uma curva entre dois pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula para calcular o comprimento de uma curva definida por x = f(y) . A fórmula é:
L = integrala^b raiz ( dxdy )^2 + 1 , dy
Aqui, dxdy é a derivada de x em relação a y , e a e b são os limites do intervalo, que nesse caso são 0 e 1.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de x em relação a y :
dxdy = ddy (y^2) = 2y

Passo 4

Agora, substituímos dxdy na fórmula do comprimento de arco:
L = integral0^1 raiz (2y)^2 + 1 , dy = integral0^1 raiz4y^2 + 1 , dy

Passo 5

Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição adequada. Reconhecemos que a expressão sob a raiz, raiz4y^2 + 1 , se ajusta à forma raiza y^2 + b , onde podemos aplicar uma técnica de integração padrão. A integral fica:
integral raiz4y^2 + 1 , dy

Passo 6

Integrando, obtemos:
L = [ y2 raiz4y^2 + 1 + 14 ln ( 2y + raiz4y^2 + 1 ) ]0^1

Passo 7

Agora, substituímos os limites de integração:
Para y = 1 :
12 raiz4(1)^2 + 1 + 14 ln (2 cdot 1 + raiz4(1)^2 + 1) = raiz52 + 14 ln (2 + raiz5)
Para y = 0 :
02 raiz4(0)^2 + 1 + 14 ln (2 cdot 0 + raiz4(0)^2 + 1) = 0 + 14 ln (1) = 0

Resposta

O comprimento da curva x = y^2 no intervalo de 0 <= y <= 1 é:
L = raiz52 + 14 ln (2 + raiz5)

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