\lim _{x \rightarrow-\infty}\left(x^{n}-x^{n-1}\right)

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
\lim_{x\to -\infty}\bigl(x^{n}-x^{n-1}\bigr)
onde n é um inteiro natural. Esse tipo de limite envolve polinômios em que, à medida que |x| cresce muito, os termos de maior grau dominam o comportamento da expressão.

Passo 2

Vamos fatorar o menor expoente em comum, que é n-1:
x^{n}-x^{n-1} = x^{n-1}\bigl(x-1\bigr).
Agora o limite vira
\lim_{x\to -\infty}x^{n-1}(x-1).

Passo 3

Para x\to -\infty, temos x-1\to -\infty. Além disso, x^{n-1} tende a \pm\infty conforme o paridade de n-1:
  • Se n-1 é par, então x^{n-1}\to +\infty.
  • Se n-1 é ímpar, então x^{n-1}\to -\infty.

Passo 4

O produto x^{n-1}(x-1) combina dois sinais de infinito:
  • Caso n-1 seja par, x^{n-1}\to +\infty e x-1\to -\infty. Então
x^{n-1}(x-1)\to (+\infty)\times(-\infty)=-\infty.
  • Caso n-1 seja ímpar, x^{n-1}\to -\infty e x-1\to -\infty. Então
x^{n-1}(x-1)\to(-\infty)\times(-\infty)=+\infty.

Passo 5

Observe que n-1 e n têm paridade oposta. Logo:
  • Se n é par, n-1 é ímpar e o limite é +\infty.
  • Se n é ímpar, n-1 é par e o limite é -\infty.

Resposta

Para n par, o limite vale +\infty.
Para n ímpar, o limite vale -\infty.

Exercícios relacionados