Passo 1
O enunciado pede o cálculo do limite
onde
é um inteiro natural. Esse tipo de limite envolve polinômios em que, à medida que
cresce muito, os termos de maior grau dominam o comportamento da expressão.
Passo 2
Vamos fatorar o menor expoente em comum, que é
:
Agora o limite vira
Passo 3
Para
, temos
. Além disso,
tende a
conforme o paridade de
:
- Se
é par, então . - Se
é ímpar, então .
Passo 4
O produto
combina dois sinais de infinito:
- Caso
seja par, e . Então
- Caso
seja ímpar, e . Então
Passo 5
Observe que
e
têm paridade oposta. Logo:
- Se
é par, é ímpar e o limite é . - Se
é ímpar, é par e o limite é .
Resposta
Para
par, o limite vale
.
Para ímpar, o limite vale
.
Para