Calcule o volume do conjunto S dado.
(g) S=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: 0 \leqslant z \leqslant \operatorname{sen} y^{3}\right. e \left.\sqrt{x} \leqslant y \leqslant \sqrt[3]{\pi}\right\}.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido
S = \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 : 0 \le z \le \sin(y^3),\; \sqrt{x}\le y \le \sqrt[3]{\pi}\}.
Para isso, vamos montar uma integral tripla em x,y,z, integrar em z primeiro (pois os limites de z são simples) e depois reorganizar a região no plano xy.

Passo 2

Escrevendo o volume como integral tripla em ordem dz\,dy\,dx, temos
V = \int_{x=0}^{(\sqrt[3]{\pi})^2}\int_{y=\sqrt{x}}^{\sqrt[3]{\pi}}\int_{z=0}^{\sin(y^3)} dz\,dy\,dx.
Integrando em z traz um fator \sin(y^3):
V = \int_{x=0}^{\pi^{2/3}}\int_{y=\sqrt{x}}^{\pi^{1/3}} \sin(y^3)\,dy\,dx.

Passo 3

A projeção dessa região no plano xy é
0 \le x \le y^2,\qquad 0 \le y \le \pi^{1/3},
pois a condição \sqrt{x}\le y equivale a x\le y^2. Invertendo a ordem dy\,dx para dx\,dy, obtemos
V = \int_{y=0}^{\pi^{1/3}}\int_{x=0}^{y^2} \sin(y^3)\,dx\,dy = \int_{y=0}^{\pi^{1/3}} \bigl[x\bigr]_{0}^{y^2}\sin(y^3)\,dy = \int_{0}^{\pi^{1/3}} y^2\,\sin(y^3)\,dy.

Passo 4

Para calcular
\int_{0}^{\pi^{1/3}} y^2\,\sin(y^3)\,dy
faremos a substituição t = y^3, logo dt = 3y^2\,dy ou y^2\,dy = \tfrac{dt}{3}. Quando y=0 temos t=0 e quando y=\pi^{1/3} temos t=\pi. Assim
V = \int_{t=0}^{\pi} \frac{1}{3}\sin(t)\,dt = \frac{1}{3}\bigl[-\cos t\bigr]_{0}^{\pi} = \frac{1}{3}\bigl(-\cos\pi + \cos0\bigr) = \frac{1}{3}(1+1) = \frac{2}{3}.

Resposta

O volume de S é \tfrac{2}{3}.

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