Calcule o volume do conjunto S dado.
(h) S=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: x^{2}+y^{2} \leqslant z \leqslant 1-x^{2}\right\}.

Passo 1

O enunciado pede o volume do conjunto
S=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3: x^2+y^2\le z\le1-x^2\}.
Vamos usar tripla integração projetando em xy e calculando a altura em z.

Passo 2

Para cada (x,y), a altura é
(1 - x^2) - (x^2 + y^2)=1 - 2x^2 - y^2.
A projeção D em xy vem de
x^2+y^2\le1-x^2 \quad\Longrightarrow\quad 2x^2+y^2\le1.
Logo
V=\iint_{D}\bigl(1 - 2x^2 - y^2\bigr)\,dx\,dy.

Passo 3

Façamos a mudança de variáveis
u=\sqrt2\,x,\quad v=y,
que leva D em \{u^2+v^2\le1\}. O jacobiano vale
\biggl|\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\biggr|=\frac1{\sqrt2}.
Além disso
1-2x^2-y^2=1-u^2-v^2.
Assim
V =\frac1{\sqrt2} \iint_{u^2+v^2\le1}(1-u^2-v^2)\,du\,dv.

Passo 4

Passe para coordenadas polares (u,v)=(r\cos\theta,r\sin\theta). Então
V =\frac1{\sqrt2} \int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{0}^{1}(1-r^2)\,r\,dr\,d\theta =\frac1{\sqrt2}\,2\pi\int_{0}^{1}(r-r^3)\,dr =\frac{2\pi}{\sqrt2}\Bigl[\tfrac{r^2}{2}-\tfrac{r^4}{4}\Bigr]_0^1 =\frac{\pi}{2\sqrt2}.

Resposta

V=\frac{\pi}{2\sqrt2}=\frac{\sqrt2\,\pi}{4}.

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