Calcule o volume do conjunto dado
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Passo 1
O enunciado pede o volume do conjunto no espaço definido por 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 e 1 ≤ z ≤ e^{x+y}. O conteúdo aqui é cálculo de volume usando integral tripla e vamos precisar usar o teorema fundamental do cálculo para integrar em z e depois integrar em x e y.
Passo 2
Usando a definição de volume via integral tripla, montamos
Passo 3
Primeiro, integramos em z aplicando o teorema fundamental do cálculo:
Passo 4
Isso reduz o problema a uma integral dupla em x e y:
Passo 5
Separamos em duas integrais:
Passo 6
Para a primeira, como e^{x+y} = e^x e^y e as integrais separam:
Passo 7
Para a segunda, é só a área do quadrado unitário:
Passo 8
O volume é a diferença entre essas duas integrais