Calcule o volume do conjunto dado
(x, y, z) in R^3: 0 <= x <= 1,0 <= y <= 1,1 <= z <= e^x+y .

Passo 1

O enunciado pede o volume do conjunto no espaço definido por 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 e 1 ≤ z ≤ e^{x+y}. O conteúdo aqui é cálculo de volume usando integral tripla e vamos precisar usar o teorema fundamental do cálculo para integrar em z e depois integrar em x e y.

Passo 2

Usando a definição de volume via integral tripla, montamos
V = integral triplaD dV = integralx=0^1integraly=0^1integralz=1^e^x+y dz,dy,dx

Passo 3

Primeiro, integramos em z aplicando o teorema fundamental do cálculo:
integralz=1^e^x+y dz = e^x+y - 1

Passo 4

Isso reduz o problema a uma integral dupla em x e y:
V = integral0^1integral0^1 l(e^x+y - 1r) dy,dx

Passo 5

Separamos em duas integrais:
integral0^1integral0^1 e^x+y dy,dx e integral0^1integral0^1 1,dy,dx

Passo 6

Para a primeira, como e^{x+y} = e^x e^y e as integrais separam:
integral0^1integral0^1 e^x+y dy,dx = integral0^1 e^x l(integral0^1 e^y dyr) dx = (e-1) integral0^1 e^x dx = (e-1)^2

Passo 7

Para a segunda, é só a área do quadrado unitário:
integral0^1integral0^1 1,dy,dx = 1

Passo 8

O volume é a diferença entre essas duas integrais
V = (e-1)^2 - 1

Resposta

e^2 - 2e

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