Usando a fórmula de Euler, mostre que
cos t=(e^i t+e^-i t) / 2, sen t=(e^i t-e^-i t) / 2 i

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, usando a fórmula de Euler, que
cos t=e^i t+e^-i t2, sen t=e^i t-e^-i t2i
O conteúdo é a fórmula de Euler e operações básicas com números complexos.

Passo 2

A fórmula de Euler afirma que
e^i t=cos t+isen t
Tomando o conjugado dessa expressão, trocamos i por -i e obtemos
e^-i t=cos t-isen t

Passo 3

Para isolar cos t, somamos as duas fórmulas:
e^i t+e^-i t=(cos t+isen t)+(cos t-isen t)=2cos t
Dividindo ambos os lados por 2, vem
cos t=e^i t+e^-i t2

Passo 4

Para isolar sen t, subtraímos as duas fórmulas:
e^i t-e^-i t=(cos t+isen t)-(cos t-isen t)=2isen t
Dividindo ambos os lados por 2i, vem
sen t=e^i t-e^-i t2i

Resposta

cos t=e^i t+e^-i t2, sen t=e^i t-e^-i t2i

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