Encontre a solução geral da equação diferencial dada.
2. 9 y^prime prime-6 y^prime+y=0

Passo 1

Temos a equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes: 9y'' -6y' + y = 0. O conteúdo aqui é resolução de equações lineares homogêneas de segunda ordem com coeficientes constantes e vamos usar o método da equação característica.

Passo 2

Substituindo y=e^rx na equação diferencial, chegamos à equação característica como segue:
9r^2 -6r +1 = 0
que é uma equação quadrática em r.

Passo 3

Calculamos o discriminante da equação quadrática:
De
Como De, a raiz é real dupla e obtém-se
r = 62cdot9 = 13

Passo 4

Para o caso de raiz dupla r=1/3, a forma geral da solução da equação diferencial é dada por:
y(x) = (C1 + C2 x)e^r x = (C1 + C2 x)e^x/3

Resposta

y(x) = (C_1 + C_2 x)e^{x/3}

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