Utilize a mudança de variáveis \mathrm{x}=\mathrm{u}^{2}-\mathrm{v}^{2}, \mathrm{y}=2 \mathrm{uv} para calcular a integral \int_{D} \int y d A, onde D é a região limitada pelo eixo x e pelas parábolas y^{2}=4-4 x, y^{2}=4+4 x.
\left(\mathrm{V}=2 \mathrm{~m}^{3}\right)

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral de superfície
\iint_{D} y \,dA
onde D é a região do plano limitada pelo eixo x y=0 e pelas parábolas
y^{2}=4-4x, \qquad y^{2}=4+4x.
Vamos usar a mudança de variáveis
x = u^{2}-v^{2}, \qquad y = 2\,u\,v,
que nos permitirá obter uma região simples em (u,v) e calcular o jacobiano.

Passo 2

Determinamos as curvas que limitam D no plano (u,v).
  1. Eixo x\colon y=0 implica 2uv=0, ou seja u=0 ou v=0.
  2. Parabola y^{2}=4-4x:
(2uv)^{2} = 4 - 4(u^{2}-v^{2}) \;\Longrightarrow\; 4u^{2}v^{2} = 4 -4u^{2} +4v^{2} \;\Longrightarrow\; u^{2}v^{2} +u^{2} -v^{2} -1=0
\Longrightarrow\;(u^{2}-1)(v^{2}+1)=0 \;\Longrightarrow\;u=\pm1.
  1. Parabola y^{2}=4+4x:
4u^{2}v^{2} = 4 +4(u^{2}-v^{2}) \;\Longrightarrow\; u^{2}v^{2} -u^{2} +v^{2} -1=0 \;\Longrightarrow\;(u^{2}+1)(v^{2}-1)=0 \;\Longrightarrow\;v=\pm1.
Como D fica sobre o eixo x para y\ge0, temos uv\ge0. Tomando o ramo u\ge0,\;v\ge0, a imagem de D é o quadrado
0 \le u \le 1, \quad 0 \le v \le 1.

Passo 3

Calculamos o jacobiano da transformação:
J = \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} = \det\begin{pmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v}\\[6pt] \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{pmatrix} = \det\begin{pmatrix} 2u & -2v\\[4pt] 2v & 2u \end{pmatrix} =4(u^{2}+v^{2}).
Assim dA = J\,du\,dv = 4(u^{2}+v^{2})\,du\,dv.]

Passo 4

Em função de (u,v), a integral torna-se
\iint_{D} y \,dA = \int_{0}^{1}\!\!\int_{0}^{1} \bigl(2uv\bigr)\,\bigl[4(u^{2}+v^{2})\bigr] \,dv\,du =8\int_{0}^{1}\!\!\int_{0}^{1}u\,v\,(u^{2}+v^{2})\,dv\,du.

Passo 5

Calculamos
8\int_{0}^{1}\!\!\int_{0}^{1}\bigl(u^{3}v + u\,v^{3}\bigr)\,dv\,du =8\int_{0}^{1}\Bigl[u^{3}\int_{0}^{1}v\,dv \;+\; u\int_{0}^{1}v^{3}dv\Bigr]du
=8\int_{0}^{1}\Bigl[u^{3}\,\tfrac12 + u\,\tfrac14\Bigr]du =8\Bigl[\tfrac12\cdot\tfrac{1}{4} + \tfrac14\cdot\tfrac{1}{2}\Bigr] =8\cdot\tfrac{1}{4} =2.

Resposta

O valor da integral é 2.

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