Utilize a mudança de variáveis \mathrm{x}=\mathrm{u}^{2}-\mathrm{v}^{2}, \mathrm{y}=2 \mathrm{uv} para calcular a integral \int_{D} \int y d A, onde D é a região limitada pelo eixo x e pelas parábolas y^{2}=4-4 x, y^{2}=4+4 x.
\left(\mathrm{V}=2 \mathrm{~m}^{3}\right)
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral de superfície
\iint_{D} y \,dA
onde D é a região do plano limitada pelo eixo x y=0 e pelas parábolas
y^{2}=4-4x, \qquad y^{2}=4+4x.
Vamos usar a mudança de variáveis
x = u^{2}-v^{2}, \qquad y = 2\,u\,v,
que nos permitirá obter uma região simples em (u,v) e calcular o jacobiano.
Passo 2
Determinamos as curvas que limitam D no plano (u,v).
Eixo x\colon y=0 implica 2uv=0, ou seja u=0 ou v=0.