(2 { }^{\text {a }} Questão)
Seja f(x, y)=y^{2} \cdot e^{x+y}+3 x^{2} y. Determine f_{x y}.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x,y)=y^{2}e^{x+y}+3x^{2}y
e pede a derivada parcial mista f_{xy}. O conteúdo é derivadas parciais e vamos usar as regras de derivada (constante, produto e cadeia) mantendo a outra variável fixa.

Passo 2

Primeiro calculamos
f_x=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(y^{2}e^{x+y}+3x^{2}y\bigr).
Como y é tratado como constante, para y^{2}e^{x+y} usamos a cadeia em e^{x+y} e para 3x^{2}y a regra do poder:
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(y^{2}e^{x+y}\bigr)=y^{2}e^{x+y}, \quad \frac{\partial}{\partial x}\bigl(3x^{2}y\bigr)=6xy.
Logo
f_x = y^{2}e^{x+y} + 6xy.

Passo 3

Agora derivamos f_x em relação a y:
f_{xy}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(y^{2}e^{x+y}+6xy\bigr).
Para y^{2}e^{x+y} usamos produto e cadeia:
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(y^{2}e^{x+y}\bigr) =2y\,e^{x+y} + y^{2}e^{x+y} =e^{x+y}(y^{2}+2y),
e para 6xy:
\frac{\partial}{\partial y}(6xy)=6x.
Somando, obtemos
f_{xy}=e^{x+y}(y^{2}+2y)+6x.

Resposta

f_{xy}=e^{x+y}(y^{2}+2y)+6x.

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