Calcule o volume do conjunto B e todos os pontos (x, y, z) tais que x^2+y^2 <= z <= 2 x+2 y-1.

Passo 1

O enunciado pede o volume do conjunto B=(x,y,z): x^2+y^2 <= z <= 2x+2y-1. O conteúdo envolve cálculo de volume por integração dupla: vamos projetar B no plano xy para obter a região D e depois integrar a diferença entre o plano e o paraboloide sobre D.

Passo 2

Para determinar D, eliminamos z resolvendo
x^2+y^2 <= 2x+2y-1
que é o mesmo que
x^2-2x+y^2-2y <= -1
Completando quadrados:
(x-1)^2 -1 + (y-1)^2 -1 <= -1
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(x-1)^2 + (y-1)^2 <= 1
Assim, D é o disco de raio 1 centrado em (1,1).

Passo 3

O volume de B é
integral duplaD l[(2x+2y-1)-(x^2+y^2)r],dA

Passo 4

Para simplificar, fazemos a mudança de variáveis u=x-1, v=y-1, de modo que D vira u^2+v^2<=1. Então x=u+1, y=v+1 e o integrando fica
(2(u+1)+2(v+1)-1)-((u+1)^2+(v+1)^2)=1-(u^2+v^2)
Em coordenadas polares (u=rcostheta,v=rsintheta), temos o integrando 1-r^2 e dA=r,dr,dtheta.

Passo 5

Agora calculamos em polares:
integral0^2piintegral0^1(1-r^2),r,dr,dtheta =2piintegral0^1(r-r^3),dr =2pil[tfracr^22-tfracr^44r]0^1 =tfracpi2

Resposta

tfracpi2

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