Calcule o volume do conjunto
e todos os pontos
tais que
.
Passo 1
O enunciado pede o volume do conjunto
. O conteúdo envolve cálculo de volume por integração dupla: vamos projetar
no plano
para obter a região
e depois integrar a diferença entre o plano e o paraboloide sobre
.
Passo 2
Para determinar
, eliminamos
resolvendo
que é o mesmo que
Completando quadrados:
logo
Assim,
é o disco de raio 1 centrado em
.
Passo 3
O volume de
é
Passo 4
Para simplificar, fazemos a mudança de variáveis
,
, de modo que
vira
. Então
,
e o integrando fica
Em coordenadas polares
, temos o integrando
e
.
Passo 5
Agora calculamos em polares: