Inverta a ordem de integração na integral
\int_{0}^{\pi}\left[\int_{0}^{\sin x} f(x, y) d y\right] d x.

Passo 1

O enunciado pede para inverter a ordem de integração na integral
\int_{0}^{\pi}\Bigl[\int_{0}^{\sin x}f(x,y)\,dy\Bigr]dx.
O conteúdo aqui é interpretação geométrica da região de integração R=\{(x,y)\mid 0\le x\le\pi,\;0\le y\le\sin x\}
e troca dos limites usando projeções em cada eixo.

Passo 2

Primeiro, projetamos R no eixo y. Como y varia de 0 até \sin x e \sin x atinge seu máximo 1 em x=\pi/2, a projeção de R no eixo y é
0\le y\le 1.

Passo 3

Para um y fixo em [0,1], precisamos encontrar os x tais que
0\le x\le\pi \quad\text{e}\quad y\le\sin x.
Resolvendo \sin x = y em [0,\pi] obtemos
x = \arcsin(y) \quad\text{ou}\quad x = \pi - \arcsin(y).
Como \sin x cresce em [0,\pi/2] e decresce em [\pi/2,\pi], a região onde \sin x\ge y fica
\arcsin(y)\,\le x\le\,\pi - \arcsin(y).

Passo 4

Trocando a ordem de integração, integramos primeiro em x de \arcsin(y) até \pi-\arcsin(y) e depois em y de 0 até 1. Assim a integral vira
\int_{0}^{1}\Bigl[\int_{\arcsin(y)}^{\pi-\arcsin(y)}f(x,y)\,dx\Bigr]dy.

Resposta

\int_{0}^{1}\int_{\arcsin(y)}^{\pi-\arcsin(y)}f(x,y)\,dx\,dy.

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